1 i aq 2 2 2
)( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 0
1 i aq 2 2 2
2 1
)( e
1 i aq 2 2 1
2 1 2 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为2N
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M ) 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
20
—— 色散关系图
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()
设单原子链长度 L Na
2 h 波矢取值 q Na Na 状态密度 2
2 每个波矢的宽度 Na
dq间隔内的状态数
Na dq 2
对应q，取值相同， d间隔内的状态数目
( ) A ( e
2 1 2 2 2
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)B 0
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
2 ) A (12 2 2 )B 0
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
( ),
频率分布函数
( )
2N
1


2 0
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：
(q) 0 Aq2
证明：频率分布函数
V 1 1/ 2 2 3 / 2 ( 0 ) f ( ) 4 A 0
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其 2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程
2n (22n 2 n1 2n1 ) m 2 n1 (22n1 2 n 2 2 n ) M
4 aq cos M m m 2 4 aq sin m 2
—— 两种色散关系如图所示
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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4 aq cos m 2 4 aq sin m 2
长波极限情况下 q 0
qa qa sin( ) 2 2
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
2 n Ae
1 i [t (2 n ) aq ] 2 1 i [t (2 n 1) aq ] 2
2 n 1 Be
令
2 12 1 / m, 2 2 / m
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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2 1 2 2 2
( e
1 i aq 2 2 1 2 1
e
2 2
1 i aq 2 2 2 2
)
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
0
), ( )
2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 n 1 Be
代回到运动方程
2 (2 m ) A (2 cos aq )B 0 2 (2 cos aq ) A (2 M )B 0
2 cosaq A 、 B 有 2 m 0 2 非零解 2 cosaq 2 M
V q V ds f ( ) 3 (2 ) 2 Aq (2 )3 2 A
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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V 1 f ( ) 2 3/ 2 (0 )1/ 2 4 A
因为对于光学波，在 q 0 处振动频率具有最大值 0
V 1 1/ 2 (0 ) 2 3/ 2 频率分布函数 f ( ) 4 A 0
Na ( )d 2 dq 2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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d间隔内的状态数目
一维单原子链色散关系 令
Na ( )d 2 dq 2 4 2 2 aq sin ( ) m 2
aq 0 sin( ) 2 a aq d 0 cos( )dq 2 2
(2

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)q
—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
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习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于 1 c 和 2 10c ，并且最近邻的间距 a / 2 1) 求出色散关系和分析计算 q 0, q 处格波的频率值 a 2) 大致画出色散关系图 解： 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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V ds 振动模式密度函数 f ( ) (2 )3 q ( q)
已知三维色散关系
(q) 0 Aq2
q( q) 2 Aq
1 q 0 A
—— 对于q空间的等频率面，波矢q为常数

红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
m2n ( 1 2 ) 2 n 2 2 n1 12 n1 m2n1 ( 1 2 ) 2n1 12n2 2 2 n
—— 两种色散关系
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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(11 20cosqa 101)
2 2 0
—— 两种色散关系
q 0 (11 121)
2 2 0
22 0 0
2 2 q 0 (11 81) a 200
—— N 个 原 胞 ， 有 2N个独立的方程
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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2n (22n 2n1 2n1 ) m 方程 2n1 (22n1 2n2 2n ) M
的解
2 n Ae
i [t ( 2 na ) q ] i [t ( 2 n 1) aq ]
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
两种不同的格波的色散关系
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
a d 02 2 dq 2
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0
4 m
两边微分得到
aq 2 cos( ) 1 2 2 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
a d 02 2 dq 2
代入
2 d dq 2 2 a 0
Na N 1 d ( )d 2 dq 2 2 2 0 2
e
1 i aq 2 2 2
)0
c 10c 2 2 , 10 —— 1 c 2 10c 2 0 m m
2 4 4 (110 2 )2 20(1010 )0 cos aq 0
(11 20cosqa 101)
2 2 0