2)
lim
xy 1 1 ;
x, y0,0
xy
3) lim 1 .
x, y1,2 2x y
习题: p106, 1(1,2,3,6,7)
二、累次极限
D
1.累次极限的定义
定义3 设 z f x, y, x, y D,
P0 x0, y0
y
P0 x0, y0 为 D 的聚点, 如果对于每个固定的 y U 0 y0 ,
PP0 PE1
PP0 PE1
D
但 A B,
则 lim f P A 不存在. PP0
PD
注: 推论1和推论2多用于证明极限 lim f P A PP0 PD
不存在, 尤其是推论2. 可证明沿某个方向极限不存在,
或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限
与方向有关(以下例4).但应注意, 沿任何方向的极限
聚点, 若 M 0, 总 0, 当 x, yU0 P0; D 时, 都有
f x, y M ,
则称 f x, y 在 D 上当 P P0 x, y x0, y0 时有非正常
极限(广义极限) , 记作
lim f P 或 lim f x, y .
PP0
x, y x0 , y0
极限
lim
P P0
f P 存在的充要条件是:
对于
D
PD
中任一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P 的点列
Pn,
它所对
应的函数列 f Pn 都收敛.
注: 推论1-3的证明可由定理16.5直接得到, 自证推论3.
3．二元函数的非正常极限
定义2 设 z f x, y, x, y D, P0 x0, y0 是 D 的一个
x
回顾：一元函数极限的 定义。
一、二元函数的极限(二重极限)
设二元函数 z = f (P) = f (x, y), 定义域为D. 如图
z
A
z = f (x, y)
如果当P在D内
变动并无限接近于
f (P)
o
x
P
P P0
D
P0时 (从任何方向, 以任何方式),对应 的函数值 f (P)无限 y 接近于数 A, 则称A为当P趋近于 P0时f (P)的极限.
存在且相等 极限存在(以下例5).
例4
考察函数
f
x,
y
x2
xy y2
,
x, y 0,0 在 0,0
处的极限.
分析: 找过 0,0 的两条直线, 证明当动点 x, y
沿直线趋向于 0,0 时, 函数有极限但不相等.
例5 讨论二元函数
y y mx
f
x,
y
1, 0,
0 y x2, ortherwise,
例3
设
f
x,
y
xy
x2
y2
,
0,
lim f x, y 0.
x, y0,0
x, y 0,0, x, y 0,0,
证明
2．二元函数极限存在的条件
定理16.5 lim f P A 的充要
P0
PP0
PD
条件是: 对于 D 的任一子集 E, 只要
E
P0
是
E 的聚点,
就有 lim PP0
类似于一元函数, f (P)无限接近于数 A可用 | f (P)– A | < 刻划. 而平面上的点 P = (x, y) 无 限接近于点 P0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离
P，P0 (x x0 )2 ( y y0 )2 来刻划.
1.二重极限的定义
定义1 设 f 为定义在 D R2 上的二元函数, P0 为 D 的一个聚点, A 是一个确定的实数. 若 0, 0
类似定义 lim f x, y , x, y x0 , y0
P0
D
lim f x, y .
x, y x0 , y0
例6 考察 f x, y 1 在点 0,0处的极限.
xy
注意到 lim xy 0, 因此 lim f x, y .
x, y0,0
x, y0,0
下面用非正常极限的定义加以验证.
x, y x0 , y0
xD
P0
上面二元函数极限的定义也称为极限的 定义. 注意与一元函数极限的 定义的区别.
例1 用“ ”定义验证极限
lim x2 xy y2 7.
x, y2,1
例2
用“
”定义验证极限
lim
x, y0,0
xy 2 x2 y2
0.
x2 y2
在 0,0 处的极限.
解: 1. 当动点 x, y 沿直线趋向于点 0,0 时,
x o
y 0
相应的 f x, y 都趋向于零. 2. 当动点 x, y 沿抛物线 1 y kx2 0 k 1 趋向于点 0,0 时, 相应的 f x, y
都趋向于1. 因此所讨论的极限不存在.
1x o0
推论3
一元函数
f
x, y 在
x0
处极限存在,
记为 lim x x0
f
x, y y.
进一步, 若 lim y A 存在, 则称 f x, y 先对 x x x0
使得当 PU0 P0, D 时, 都有
则称 f 在 D 上当 P P0 时,
f P A
A z A
成立,
以 A 为(二重)极限. 记作
A
z = f (x, y)
lim f P A. 简记为 lim f P A.
PP0
PP0
PD
当 P和 P0 分别用坐标 x, y 和
o
y
x0, y0 表示时, 也可以写作 lim f x, y A.
解
由于
1 xy
x2
2 y2,源自M 0, 取 2M ,
当 x2 y2 , 时就有
f
x,
y
x2
2
y2
2
2
M,
所以 lim f x, y . x, y0,0
4．二元函数(二重)极限运算性质 与一元函数极限运算性质完全类似 例7 求下列极限: 1) lim sin xy ;
x, y3,0 y
f P A.
D
PE
注: 该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.
推论1 设 E1 D,
P0
是
E1 的聚点,若
lim
PP0
f
P
A
不存在, 则 lim f P A 也不存在.
PE1
PP0
PD
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,
§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限 二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接 近于x0时, 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
f (x)
0 x x0 x x x0
y = f (x) f (x)