2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记cn nS b nn +=2， *N n ∈，其中c 为实数．（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）； （2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ．3.(本题满分14分)(2013浙江.理)在公差为d的等差数列{an }中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列.（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ) 若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| .4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)设{}na是公比为q的等比数列.(Ⅰ) 推导{}na的前n项和公式;(Ⅱ) 设1q≠, 证明数列{1}na+不是等比数列.2(nx x n++∈，存在唯一的2[3n x ∈（Ⅱ）对任意*p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足0n n p x x n+<-<8.（本小题满分14分）(2013广东.理) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2*1212,()33n n S a n n n N n +=---∈. （1）求2a 的值（2）求数列{}n a 的通项公式n a (3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.11．（本小题满分12分）(2013江西.理)正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足： （1） 求数列{}n a 的通项公式n a ； （2） 令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意n N *∈，都有564n T <.23. (本小题满分14分) (2013天津.理)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且335544,,S a S a S a +++成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值13.（本小题共13分）(2013北京.理)已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,…，是一个周期为4的数列（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：(1,2,3,n d d n =-=…)的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,n d n ==…)，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设1q ≠, 证明数列{1}n a +不是等比数列.20.（本小题满分12分）(2013四川.理)在等差数列{}n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项，公差及前n 项和。
11ma ++≥2．（本小题满分16分）(2013江苏卷) 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=，22)1(ad n b n +-=．当421b b b ，，成等比数列，4122b b b =，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ，得：ad d 22=，又0≠d ，故a d 2=．由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=．故：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）．（2）cn ad n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(， cn a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1(cn ad n ca d n ++--+-=222)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：022)1(2=++-cn ad n c，即022)1(=+-a d n c ，而(1)202n d a -+≠， 故0=c ．经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．3.(本题满分14分)(2013浙江.理)解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（I ）由题意得 a 1·5a 3＝(2a 2+2)2即d 2－3d －4=0 故d=－1或d=4所以a n ＝－n+11,n ∈N*或a n ＝4n+6,n ∈N*（II ）设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0，由(I)得d=－1, a n ＝－n+11。
则 当n ≤11时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝S n ＝212122n n -+当n ≥12时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝－S n +2S 11＝212122n n -+110综上所述，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝22121,1122121110,1222n n n n n n ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。
①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时，当. 上面两式错位相减:.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （qq a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒。
③综上，⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n(Ⅱ) (用反证法)设{}n a 是公比1q ≠的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当*n N ∃∈，使得10n a +≠成立，则{1}n a +不是等比数列。
②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+11111111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当。
这与题目条件q ≠1矛盾。
③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当1q ≠时, 数列{1}n a +不是等比数列。
（证毕）6.（本小题满分13分）(2013安徽.理)证明(1) 对每个*n N ∈，当0x >时,1()102n n xx f x n-'=+++>, 故()n f x 在(0,)+∞上单调递增. 由于1(1)0f =,当2n ≥时,222111(1)023n f n=+++>故(1)0n f ≥ 又2222()221123()1()33343knn k n k k f k ===-++≤-+∑∑ 21122()[1()]111233()02343313n n ---=-+⋅=-⋅<-所以存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =(2)当0x >时,112()()()(1)n n n n x f x f x f x n ++=+>+, 故111()()()0n n n n n n f x f x f x +++>==由1()n f x +在(0,)+∞上单调递增知,1n n x x +<,故{}n x 为单调递减数列.从而对任意*p N ∈,n p n x x +<.对任意*p N ∈,由于222()102n nnn n n x x f x x n=-++++= …………① 222()102()n pn pn pn p n p n p x x f x x n p ++++++=-++++=+……②①-②并移项,利用01n p n x x +<<≤得222211k kkkn pn pnn p nn pn pn n p k k n k n x x x x x x kkk++++++==+=+--=+≤∑∑∑21111111(1)n pn pk n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑因此对任意的*p N ∈,都有10n n p x x n+<-< 8.（本小题满分14分）(2013广东.理)解(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a -=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有 1211174n a a a +++<.11．（本小题满分12分）(2013江西.理)解(1)由2222(1)()0[()](1)0n n n n S n n S n n S n n S -+--+=⇒-++=由于{}n a 是正项数列,所以210,n n S S n n +>∴=+.于是112,2a S n ==≥时,221()(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=综上数列{}n a 的通项公式为2n a n =.(2)证明:由于222211112,[](2)16(2)n n n n a n b n a n n +===-++ 22222111111[(1)()()]16324(2)n T n n =-+-++-+ 22221111115[1](1)162(1)(2)16264n n =+--<+=++ 13.（本小题共13分）(2013北京.理)解(1)12341,3d d d d ====(2)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以 12n a a a ≤≤≤≤因此11,,(1,2,3,)n n n n n n n A a B a d a a d n ++===-== (必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤=,所以n n n n A B d B =+≤.又因为11,n n n n n n a A a B a a ++≤≥∴≤ 于是11,n n n n n n n n n A a B a a a B A d d ++==∴-=-=-=即{}n a 是公差为d 的等差数列;(3)因为112,1a d ==所以111112,1A a B A d ===-=故对任意11,1n n a B ≥≥=假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项设m 为满足2m a >的最小正整数则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>,于是{}1211,min ,2m m m m m m B A d B a B +=->-==≥故111220m m m d A B ---=-≤-=与10m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1, 因为对任意11,2n n a a ≥≤=,所以2n A =.故211n n n B A d =-=-= ,因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}m a 的项为1.15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理)解(1)设{}n a 的前n 项和为n S ,当1q =时,121n n S a a a na =+++=当1q ≠时,211111n n S a a q a q a q -=++++……………①211111n n n qS a q a q a q a q -=++++………② ①-②得11(1)(1)(1)1n nn n a q q S a q S q --=-⇒- 11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪∴=-⎨≠⎪-⎩(2)假设{}1n a +是等比数列,则对任意的*k N ∈,212(1)(1)(1)k k k a a a +++=++21122211k k k k k k a a a a a a ++++++=+++221122111112k k k k k a q a q a q a q a q -++=++11102k k k a q q q -+≠∴=+,202101q q q q ≠∴-+=∴= 这与已知矛盾.所以假设不成立.故{}1n a +不是等比数列.20.（本小题满分12分）(2013四川.理) 解:设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,由已知得21111228,(3)()(8)a d a d a d a d +=+=++解得14,0a d ==或11,3a d == 所以数列{}n a 的通项公式为4n a =或32n a n =-所以数列{}n a 的前n 项和4n S n =或232n n n S -=23. (本小题满分14分) (2013天津.理) 解(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,因为335544,,S a S a S a +++成等差数列, 所以253344555331()()2()44a S a S a S a a a q a +++=+⇒=⇒== 又{}n a 不是递减数列,且11131313()(1)22222n n n n a q a --=∴=-⇒=⨯-=-⋅ (2)由(1)得11,121()121,2nn n n n S n ⎧+⎪⎪=--=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当n 为奇数时,n S 随n 的增大而减小,所以1312n S S <≤= 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时, n S 随n 的增大而减大,所以2314n S S =≤<, 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 所以数列{}n T 的最大项的值为56;最小项的值为712-.。