2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级（上）1.下列四条线段能成比例线段的是()A. 1，1，2，3B. 1，2，3，4C. 13,12，2，3 D. 2，3，4，52.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan B的值为()A. 34B. 45C. 43D. 353.如图，直线OA过点(2,1)，直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为()A. √55B. 12C. 2D. √54.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是()A. C1C2=32B. S1S2=32C. OBCD=32D. OAOD=325.如图，已知∠ACD=∠B，若AC=6，AD=4，BC=10，则CD长为()A. 203B. 7C. 8D. 96.如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为()A. 15B. 20C. 25D. 307.两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是______．8.若sinα=√2cos60°，则锐角α=______．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=√33，那么cos∠B=______．10.化简：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=______．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且tanA=13，则AC=______．12.如图，在等边△ABC中，AB=12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ=60°，PC=8，则QC的长是______．13.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，D是AB上一点且AD=2cm，点E在边AC上，当AE=______cm时，使得△ADE与△ABC相似．14.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8.连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=13，则AD长度是______．15.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−1 2(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是______cm.(结果保留整数)16.如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为______．17.如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F.连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH=______．18.如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为______．19. 计算：(1)2sin30°+3cos60°−4tan45° (2)cos 230°1+sin30∘+tan 260°20. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =6，b =6√3.解这个三角形．21. 如图，已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AB =9，AC =6，AD =2，AE =3．(1)求DEBC 的值；(2)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，求DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (用含a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)．22. 如图，建筑物BC 上有一个旗杆AB ，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED ，小明沿CD 后退，发现地面上的点F 、树顶E 、旗杆顶端A 恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G 、树顶E 、建筑物顶端B 恰好在一条直线上，已知旗杆AB =3米，DE =4米，DF =5米，FG =1.5米，点A 、B 、C 在一条直线上，点C 、D 、F 、G 在一条直线上，AC 、ED 均垂直于CG ，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC ．23.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，作AE⊥AD交BC延长线于E，CF⊥BC交AE于F．(1)求证：△ABD≌△ACF；(2)作AG平分∠DAE交BC于G，求证：AF2=DG⋅DC．24.如图，已知AM//BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点(点D与点A不重合)，点E是线段AB上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC.设AE=x，BC=y．(1)当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(2)在(1)的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF=2.5，求AE的长；(3)如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．25.在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A(1,0)且与y轴平行，直线l2过点B(0,2)且(k>与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点，反比例函数y=kx0)的图象过点E与直线l1相交于点F．(1)若点E与点P重合，求k的值；(2)连接OE、OF、EF.若k>2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；C、13×3=12×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．故选：C．对于四条线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案即可．本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的与最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=√AB2−BC2=4，∴tanB=ACBC =43，故选：C．根据勾股定理求出AC，根据正切的定义解答即可．本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：过点C(2,1)作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD=2，CD=1，在Rt△OCD中，tanα=CDOD =12．故选：B．过点C(2,1)，作CD⊥x轴于D，则OD=2，CD=1，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了三角函数定义、坐标与图形性质；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∴C1C2=32，A正确；∴S1S2=94，B错误；∴OBOD =32，C错误；∴OA：OC=3：2，D错误；故选：A．根据相似三角形的性质判断即可．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴ACAD =BCCD，∵AC=6，AD=4，BC=10，∴64=10CD，∴CD=203．故选：A．由∠A=∠A，∠ACD=∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ACD∽△ABC是关键．6.【答案】B【解析】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°，EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC ，∴AN AD =EF BC (相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC =120，AD =60，∴AN =60−x ，∴60−x 60=x 120， 解得：x =40，∴AN =60−x =60−40=20．故选：B ．设正方形EFGH 的边长EF =EH =x ，易证四边形EHDN 是矩形，则DN =x ，根据正方形的性质得出EF//BC ，推出△AEF∽△ABC ，根据相似三角形的性质计算即可得解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．7.【答案】4：9【解析】解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是(23)2=49，故答案为：4：9．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 8.【答案】45°【解析】解：∵sinα=√2cos60°=√2×12=√22， ∴α=45°．故答案为：45°．根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 9.【答案】12【解析】解：∵tan∠A=√33，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=180°−30°−90°=60°，∴cos∠B=12．故答案为：12．直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10.【答案】a⃗+72b⃗【解析】解：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=3a⃗+32b⃗ −2a⃗+2b⃗ =(3−2)a⃗+(32+2)b⃗ =a⃗+72b⃗ ．故答案是：a⃗+72b⃗ ．平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．11.【答案】6【解析】解：∵tanA=13，∴BCAC =13，即2AC=13，解得，AC=6，故答案为：6．根据正切的定义列式计算，得到答案．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．12.【答案】83【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=12，∵PC=8，∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APQ +∠CPQ ，∴∠BAP =∠CPQ ，又∵∠B =∠C =60°，∴△ABP∽△PCQ ， ∴AB PC =BP CQ ， ∴128=4QC ， ∴QC =83，故答案为：83．通过证明△ABP∽△PCQ ，可得AB PC =BP CQ ，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△ABP∽△PCQ 是本题的关键． 13.【答案】83或1.5【解析】解：有两种情形：如图，当DE//BC 时，△ADE∽△ABC ，∴ADAB=AE AC ， ∴26=AE8，∴AE =83(cm)，当∠ADE′=∠C 时，∵∠A =∠A ，∴△ADE′∽△ACB ，∴ADAC=AE′AB ， ∴28=AE′6，∴AE′=1.5(cm)，故答案为83或1.5．分两种情形利用相似三角形的性质求解即可．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB=2，sin∠ACB=ABAC =13，∴AC=2÷13=6．在Rt△ADC中，AD=√AC2+CD2=√62+82=10．故答案为：10．根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．15.【答案】185【解析】解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7=70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高=114.4+70.7≈185(cm)，故答案为：185．根据黄金分割的概念、黄金比值为0.618分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计算即可．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键．16.【答案】√1010【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由题图知：AB=2，BC=√22+22=2√2，AC=√22+42=2√5．∵S△ABC=12AB×CE=12AC×BD，∴12×2×2=12×2√5×BD，∴BD=2√55．在Rt△BCD中，sin∠ACB=BDBC=2√552√2=√1010．故答案为：√1010．过点B作BD⊥AC，垂足为D.利用▷ABC的面积先求出BD，在Rt△BCD中求出∠ACB的正弦．本题考查了三角形的面积、勾股定理及锐角三角函数．利用三角形ABC的面积不变求出BD是解决本题的关键．17.【答案】2：1：3【解析】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF//AB，EF=12AB，∴△CHE∽△CDB，∴CHCD =HEDB=CECB=12，∴CH=DH，∵AD=DB，∴HEAD =12，∵EF//AB，∴△EGH∽△AGD，∴HGDG =EHAD=12，∴DG：GH：CH=2：1：3，故答案为：2：1：3．根据三角形中位线定理得到EF//AB ，EF =12AB ，证明△CHE∽△CDB ，根据相似三角形的性质得到CH =DH ，证明△EGH∽△AGD ，根据相似三角形的性质解答即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 18.【答案】13625【解析】解：过Q 作QE ⊥AD 于E ，如下图所示，在△MDN 和△NEQ 中，∠MDN =∠NEQ =90°，∠DMN =∠ENQ ，∴△MDN∽△NEQ ，∴DMNE =DNEQ=MN NQ =15， ∴DN =15×10=2，在△MDN 和△PBQ 中，{∠DMN =∠BPQMN =PQ ∠DNM =∠BQP，∴△MDN≌△PBQ(ASA)， ∴DM =BP ，DN =BQ =2，∴NE =AD −DN −EA =AD −DN −BQ =10−2−2=6，∴DM =15×6=65， ∴每个小正方形的面积为DM 2+DN 2=(65)2+22=13625，故答案为：13625．根据相似三角形的判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是找出相似三角形并根据相似比求出小正方形的面积． 19.【答案】解：(1)原式=2×12+3×12−4×1=1+32−4 =−32；(2)原式=(√32)1+122+(√3)2=3432+3 =72．【解析】(1)直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；(2)直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20.【答案】解：由勾股定理得，c =√a 2+b 2=√36+108=√144=12， ∵tanA =a b =6√3=√33， ∴∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =90°−30°=60°，即：c =12，∠A =30°，∠B =60°；【解析】根据勾股定理求出斜边c ，再根据tanA =a b ，求出∠A ，最后根据∠A +∠B =90°，求出∠B 即可．考查直角三角形的边角关系，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确求解的前提． 21.【答案】解：(1)∵AE AB =AD AC =13，∠A =∠A∴△ADE∽△ACB ，∴DE BC =AD AC =26=13，即DE BC =13． (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−29a ⃗ +12b ⃗ ．【解析】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．(1)根据已知∠AED =∠ABC ，∠A =∠A ，进而得出△ADE∽△ACB ，由该相似三角形的性质解答；(2)由三角形法则解答即可．22.【答案】解：由题意可得，∠ACF =∠EDF =90°，∠AFC =∠EFD ，∴△ACF∽△EDF ， ∴AC ED =CF DF ，即3+BC 4=CD+55， ∴CD =5BC−54，由题意可得，∠BCG =∠EDG =90°，∠BGC =∠EGD ，∴△BCG∽△EDG ，∴BC ED =CG DG ，即BC4=CD+5+1.55+1.5，∴6.5BC =4(CD +6.5)，∴6.5BC =4×5BC−54+26， ∴BC =14，∴这座建筑物的高BC 为14米．【解析】根据相似三角形的判定和性质得出CD ，进而解答即可．此题考查似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 23.【答案】(1)证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE =∠DAC +∠2=90°，又∵∠BAC =∠DAC +∠1=90°，∴∠1=∠2，在△ABD 和△ACE 中{AB =AC∠1=∠2AD =AE，∴△ABD≌△ACF ；(2)证明：∵∠DAE =90°，作AG 平分∠DAE ，∴∠DAG =12∠DAE =45°，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠ACB =45°，∴∠DAG =∠ACB ，∵∠ADG =∠CDA ，∴△DAG∽△DCA ，∴ADCD =DGAD，∴AD2=CD⋅DG，由(1)知，△ABD≌△ACF，∴AF=AD，∴AF2=DG⋅DC．【解析】(1)根据垂直的定义得到∠DAE=∠DAC+∠2=90°，求得∠1=∠2，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据角平分线的定义得到∠DAG=12∠DAE=45°，根据相似三角形的性质得到AD2=CD⋅DG，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24.【答案】解：(1)由题中条件可得△AED∽△BCE，∴ADBE =AEBC，∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1∴BE=4−x，∴14−x =xy，∴y=−x2+4x(0<x<4)；(2)∵DE⊥EC，∴∠DEC=90°，又∵DF=FC，∴DC=2EF=2×2.5=5，过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，∴Rt△DHC中，HC=√DC2−DH2=√52−42=3，∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，∴−x2+4x=4解得：x1=x2=2，∴AE=2；(3)△BCE的周长不变．理由如下：C△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4−x，设AD=m，则DE=4−m，∵∠A=90°，∴DE2=AE2+AD2即，(4−m)2=x2+m2∴m=16−x28，由(1)知：△AED∽△BCE，∴C△ADEC△BCE=ADBE=16−x284−x=4+x8∴C△BCE=84+x⋅C△ADE=84+x⋅(4+x)=8∴△BCE的周长不变．【解析】(1)由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；(2)可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；(3)△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的简单运用，能够熟练掌握相似三角形的性质并加以运用．25.【答案】解：(1)若点E与点P重合，则k=1×2=2；(2)当k>2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，∵PF⊥PE，∴S△FPE=12PE⋅PF=12(k2−1)(k−2)=14k2−k+1，∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE=S△GEF，∴S△OEF=S矩形OCGD −S△DOF−S△EGF−S△OCE=k2⋅k−k 2−(14k2−k+1)−k2=14k2−1，∵S△OEF=2S△PEF，∴14k2−1=2(14k2−k+1)，解得k =6或k =2，∵k =2时，E 、F 重合，∴k =6，∴E 点坐标为：(3,2)；(3)存在点E 及y 轴上的点M ，使得△MEF≌△PEF ，①当k <2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF ，作FH ⊥y轴于H ，∵∠MHF =∠EBM =90°，∠HMF =∠MEB ，∴△FHM∽△MBE ， ∴BM FH =EM FM ， ∵FH =1，EM =PE =1−k 2，FM =PF =2−k ，∴BM1=1−k22−k ，BM =12，在Rt △MBE 中，由勾股定理得，EM 2=EB 2+MB 2，∴(1−k 2)2=(k 2)2+(12)2，解得k =34，此时E 点坐标为(38,2)，②当k >2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF ，作FQ ⊥y 轴于Q ，△FQM∽△MBE得，BM FQ =EMFM ，∵FQ =1，EM =PF =k −2，FM =PE =k2−1，∴BM1=k−2k 2−1，BM =2，在Rt △MBE 中，由勾股定理得，EM 2=EB 2+MB 2，∴(k −2)2=(k 2)2+22，解得k =163或0，但k =0不符合题意，∴k =163．此时E 点坐标为(83,2)，∴符合条件的E点坐标为(38,2)(83,2)．【解析】(1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可；(2)当k>2时，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出S△FPE=14k2−k+1，根据S△OEF=S矩形OCGD−S△DOF−S△EGF−S△OCE即可求出k 的值，进而求出E点坐标；(3)①当k<2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；②当k>2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，BMFQ =EMFM，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标．本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．。