2 φ1<0， 3x －x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0，
故当x∈ 都有g(x)<0.
2 － ， 1 3
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，
专题
数学思想方法
第四讲 化归与转化思想
2．化归与转化思想 根据熟知的数学结论和掌握的数学 题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化 困难为容易、化整体为局部、化复杂为简 单、化空间为平面、化高维为低维的解决 问题的思想方法就是化归思想与转化思 想.
► 探究点二 化归与转化思想的应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 设数列{an}， {bn}都是等差数列． 若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 且(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，则角 A 的大小为________．
[解析] (1)方法一：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn} 是等差数列．设其公差为 d，则 c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得 d＝7， 因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填 35. 方法二：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{cn}是等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 即 42＝7＋(a5＋b5)，因此 a5＋b5＝42－7＝35.故填 35. (2)因为(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，由正弦定理得 (2sinB－ 3sinC)cosA＝ 3sinAcosC， 即 2sinBcosA 2sinBcosA＝ 3sin(A＋C)，则 2sinBcosA＝ 3sinB. 因为 0<B<π，所以 sinB≠0， 3 π 所以 cosA＝ ，于是 A＝ . 2 6
3．化繁为简：在一些问题中，已知条件或是求解结论比较 繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情 况，再解决问题．有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行 换元，这种方法也是化繁为简的转化思想的体现． 4．化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几 个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出 的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进 行解决，这就是化大为小． •易错 分类讨论时要不重复也不能遗漏，结果的整合要符 合问题的要求.
[解析] 由点P为椭圆第一象限内的任意一点，则可设 点P为特殊点，易求得S1＝S2，故选A.
3 (2)已知f(x)＝ x ，则f(－2015)＋f(－2014)＋„＋f(0) 3＋ 3 ＋f(1)＋„＋f(2016)＝________. 2016
3 3 解析 f(x)＋f(1－x)＝ x ＋ 3 ＋ 3 31－x＋ 3 3x＋ 3 3 3x ＝ x ＋ ＝1， x＝ x 3＋ 3 3 ＋3 3 ＋ 3 ∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2015)＋f(2016)＝1， ∴f(－2015)＋f(－2014)＋„＋f(0)＋f(1)＋„＋f(2016) ＝2016.
→ ＋5PB → ＋2PC → ＝0，则 3(PA → ＋PB → )＝－2(PB →＋ (3)如图，由 3PA → ＋PB → → ＋PC → PA PB → )，则 3· PC ＝－2· . 2 2 → ＋PB → PA → →＝ 设 AB，BC 的中点分别为 M，N，PM＝ ，PN 2 → ＋PC → PB → ＝－2PN → ，则点 P 在中位线 MN 上，则△PAC ，即 3PM 2 的面积是△ABC 的面积的一半．
(4)
已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－
5，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．若对满足－1≤a≤1 的一 切 a 的值， 都有 g(x)<0， 则实数 x
2 － ， 1 的取值范围为__________ ． 3
[解析] 由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝ (3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
[答案]
(1)D
(2)5π
S (3) 2
[ 解 析 ] (1) 设 f(p) ＝ px2 ＋ (p － 3)x － 3 ， 则 2 f－1＝－x －4x－3>0， 解得－3<x<－1. 2 f 1 ＝ x － 2 x － 3>0 ，
(2) 折成直二面角后组成的三棱锥 B － ACD 中的三条侧棱 DA，DB，DC 两两垂直，以这三条侧棱为棱构造一个长方体， 则这个长方体与三棱锥 B－ACD 有共同的外接球． 这个长方体的 5 三条侧棱长度分别为 1,1， 3，故其外接球的半径 R＝ ，这个 2 5 球的表面积是 4π× 2＝5π. 2
变式题 (1)若对任意实数 p∈[－1,1]，不等式 px2＋(p－3)x －3>0 均成立，则实数 x 的取值范围为( ) A．(－1,1) B．(－∞，－1) C．(3，＋∞) D．(－3，－1) (2)将边长为 2 的正△ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B－AD－C，则三棱锥 B－ACD 的外接球的表面积为________． → ＋5PB →＋ (3)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点，且 3PA → ＝0，设△ABC 的面积为 S，则△PAC 的面积为________． 2PC
2 由①得3x ＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥ x －3x，当x∈
2
2 (t,3)时恒成立，∴m＋4≥ t －3t恒成立，则m＋4≥－1，即 m≥－5； 2 2 由②得m＋4≤ x －3x当x∈(t,3)时恒成立，则m＋4≤ 3 37 －9，即m≤－ 3 . ∴使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值 37 范围为－ 3 <m<－5.
(3)
若对于任意 t∈[1,2]，函数
m 2 g(x)＝x3＋ 2 ＋2 x
－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围 是
37 － 3 <m<－5 __________________ ．
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3) 上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或② g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
规律技巧提炼
•技巧 化归转化思想几种方向： 1．化为已知：当所解决的问题和我们已经掌握的问题有关系 时，把所解决的问题化为已知问题，是化归的基本形式之一． 2．化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们 遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们 熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这 是化难为易的一个方面；当我们所面临的问题正面解决较为困难 时，从其反面考虑，也是化难为易的一个方面．
命题立意追溯
推理论证能力——正向思维与逆向思维在解题中的应用
示例 根据多年经验，张先生在本单位的一次考核中， 获得第一、二、三、四名的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28， 计算张先生在一次考核中： (1)获得第一名或第四名的概率； (2)名次不在前四名的概率．
解：(1)记“获得第一名”为事件 A，“获得第四名”为事 件 B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件．则获得第一名或第四名的概率的概率为 P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49； (2)记“名次不在前四名”为事件 E，则事件 E 为获得第 一名、第二名、第三名、第四名的对立事件，获得第一名、第 二名、第三名、第四名这几个事件是彼此互斥的， 故 P( E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而 P(E)＝1－P( E )＝1－0.97＝0.03.
跟踪练
向边长为 2 正六边形内任意掷点， 求该点离正六边形的所 有顶点的距离均不小于 1 的概率．
解：根据题意，只要点落在图中的空白区域即可，所求 的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所 2π 3π 求的概率是 1－ ＝1－ . 9 3 3 2 ×2 2
x2 y2 跟踪练(1)[2016· 厦门模拟]如图，P 为椭圆25＋ 9 ＝1 上 第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别 作 y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点 C，过点 P 引 BC， AC 的平行线交 AC 于点 N，交 BC 于点 M，交 AB 于点 D， E，记矩形 PMCN 的面积为 S1，三角形 PDE 的面积 S2，则 S1∶S2＝( A．1 1 C.2 ) B．2 1 D.3
[点评] 本题第一题的方法 1 是根据熟知的等差数列性质得 出的从整体上求解的方法，即把要解决的问题化归为等差数列 求解，这种整体思想在数列、解析几何中具有广泛的应用；本 例第二题是含有三角形边角混合方程的问题，解决问题的一般 思路是根据正弦定理、余弦定理实现边角关系的互化，这是一 种典型的使用转化思想解决的问题．