实验三 不定积分、定积分及其应用【实验类型】验证性【实验学时】2学时【实验目的】1．掌握用MA TLAB 求函数不定积分、定积分的方法；2．理解定积分的概念及几何意义；3．掌握定积分的应用；【实验内容】1．熟悉利用MATLAB 计算不定积分的命令、方法；2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义；【实验目的】1．掌握利用MATLAB 计算不定积分的命令、方法；2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义；3．掌握利用MATLAB 计算定积分、广义积分的命令、方法；4．掌握利用MA TLAB 计算有关定积分应用的各种题型，包括平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等；【实验前的预备知识】1．原函数与不定积分的概念；2．不定积分的换元法和分部积分法；3．定积分的概念；4．微积分基本公式；5．广义积分的敛散性及计算方法；6．利用定积分计算平面图形的面积；7．利用定积分计算旋转体的体积；8．利用定积分计算平面曲线的弧长；【实验方法或步骤】一、实验使用的MATLAB 函数1．int( f (x ) , x )； 求()f x 的不定积分；2．int( f (x ), x , a , b )；求()f x 在[,]a b 上的定积分；3．int( f (x ) , x , -inf, inf )；计算广义积分()d f x x ∞-∞⎰；4．solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')；求解n 元方程组；二、实验指导例1 计算不定积分cos 2x e xdx ⎰。

输入命令：syms x;int(exp(x)*cos(2*x),x)运行结果：ans =1/5*exp(x)*cos(2*x)+2/5*exp(x)*sin(2*x)例2 计算不定积分。

输入命令：syms x;int(1/(x^4*sqrt(1+x^2)))运行结果：ans =-1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2)例3 以几何图形方式演示、理解定积分()ba f x dx ⎰概念，并计算近似值。

先将区间[,]a b 任意分割成n 份，为保证分割加细时，各小区间的长度趋于0，在取分点时，让相邻两分点的距离小于2()/b a n -，分点取为()()/i i x a i u b a n =++-（[0,1]i u ∈为随机数），在每一区间上任取一点1()i i i i i c x v x x +=+-（[0,1]i v ∈为随机数）作积分和进行计算，程序如下：function juxs(fname,a,b,n) % 定积分概念演示，随机分割、 随机取近似，并求近似值 xi(1)=a; xi(n+1)=b;for i=1:n-1xi(i+1)=a+(i+rand(1))*(b-a)/n;endI=0;hold on;for i=1:length(xi)-1sxi=xi(i)+rand(1)*(xi(i+1)-xi(i));syi=feval(fname,sxi);I=I+syi*(xi(i+1)-xi(i));xii=[xi(i) xi(i) xi(i+1) xi(i+1) xi(i)];yii=[0 syi syi 0 0];fill(xii,yii,'c');endx=a:(b-a)/100:b;y=feval(fname,x);plot(x,y,'r','markersize',20);hold off;fprintf('n=%6d, I=%12.5f\n',n,I); function y=fex(x)y=x.^2+1;以积分222(1)x dx-+⎰为例，调用上述函数，观察如下：（1）几何上图3.1我们知道，当()0f x ≥时，定积分的值表示由,,0,()x a x b y y f x ====所围成的曲边梯形的面积，从图形3.1上可以看出，用小矩形面积和逼近曲边梯形面积的过程。

值得注意的是，虽然每次运行后的图形可能有所差异（相同的参数下），但总的趋势是，分点个数越多，小矩形的面积之和越逼近曲边梯形的面积，即积分和越逼近积分值。

（2） 数值上当对区间逐步进行细分时，反复调用上述程序，可得一系列积分近似值（运行结果可能有差异），可以看到，随着区间数的增大，近似值越来越接近精确值（精确值为28/3）。

n= 20, I= 9.12818n= 40, I= 9.38262n= 160, I= 9.34459n= 320, I= 9.33352n= 640, I= 9.33158n= 1280, I= 9.33324n= 2480, I= 9.33364例4 计算定积分20153sin dx x π+⎰。

输入命令：syms x;int(1/(5+3*sin(x)),x,0,2*pi)运行结果：ans =1/2*pi例5 计算定积分0a x ⎰。

输入命令：syms x;int(x^2*sqrt(a^2-x^2),x,0,a)运行结果：ans =1/16*a^5*(1/a^2)^(1/2)*pi例6 计算广义积分20122dx x x ∞++⎰。

输入命令：syms x; int(1/(x^2+2*x+2),x,-inf,inf)运行结果：ans =1/4*pi例7 判别广义积分1201dx x -⎰的敛散性。

输入命令：syms x;int(1/sqrt(1-x^2),x,0,1)运行结果：ans =1/2*pi所以原积分收敛。

例8 求由抛物线22y x =和直线4y x =-+所围图形的面积。

首先画出函数图形，输入命令：x=0:0.1:9;plot(x,-x+4,’b ’,x,sqrt(2*x),'r',x,-sqrt (2*x),'r')运行结果如图3.2所示。

再求解方程组，得到两曲线交点，输入命令：[x,y]=solve('y^2-2*x=0','y+x-4=0')；运行结果：x = [8 2] , y = [-4 2]以 y 为积分变量求面积，输入命令：int(-y+4-y^2/2,y,-4,2)运行结果：ans = 图3.218例9 求由圆3cos r θ=和双纽线1cos r θ=+所围图形的面积。

首先在极坐标系下画出两曲线的图形，输入命令：th=0:0.05:2*pi;r1=3*cos(th); r2=1+cos(th);polar(th,r1,'b');hold on; polar(th,r2,'r') ; hold off;运行结果如图3.3所示由对称性，求得交点(/3,3/2)π，求面积再输入命令：s1=int(1/2*r2^2,th,0,pi/3);s2=int(1/2*r1^2,th,pi/3,pi/2);S=2*(s1+s2)运行结果：S=5/4*pi 例10 求曲线2arctan 1ln(1)2x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩上相应于从0t =到1t =的一段弧长。

首先画出曲线的图形如图 3.4所示，求弧长输入命令：syms t;x=atan(t); y=log(1+t^2)/2;dx=diff(x); dy=diff(y);s=int(sqrt(dx^2+dy^2),t,0,1)运行结果：s =-log(2^(1/2)-1)例11 将星形线2/32/32/3x y a +=图3.3图3.4所围成的图形绕x 轴旋转一周，计算所得旋转体的体积。

星形线的参数方程为33cos (02)sin x a t t y a tπ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩，取1a =，画出星形线的图形如图3.5所示，计算旋转体体积输入命令：syms a real;syms t;x=a*cos(t)^3;y=a*sin(t)^3;dx=diff(x);V=2*int(pi*y^2*dx,t,0,pi/2)运行结果：V=-32/105*pi*a^3【实验练习】1．用MATLAB 计算下列不定积分。

（1）21x dx +⎰ >> syms xint(sqrt(x.^2+1)/x^2,x)ans =-1/x*(x^2+1)^(3/2)+x*(x^2+1)^(1/2)+asinh(x)（2）2sin cos x a x xdx ⎰>> syms x aint(a.^x*sin(x)*(cos(x))^2,x)ans =((11*log(a)^2+9)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^2+(log(a)^2+3)/(10*log(a)图3.5^2+log(a)^4+9)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^6+2*(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*log(a)*e xp(x*log(a))*tan(1/2*x)-(11*log(a)^2+9)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^4+2*(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*log(a)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^5-(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*exp(x*log(a))-4*log(a)*(log(a)^2-1)/(10*log(a)^2+log(a)^4+9)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^3)/(1+tan(1/2*x)^2)^32．设32()35([1,3])f x x x x x =-++∈-，根据定积分定义编写一段程序，从几何上演示用小矩形面积和逼近曲边梯形面积的过程。

3．用MA TLAB 求解下列各积分。

（1）220e cos x xdx π⎰ （2）0e sin 2t tdt ∞-⎰（3）设201()12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

4．求由曲线22(5)16x y +-=绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积。

5．求下列曲线与所围成图形的面积：（1）212y x =与228x y +=（两部分都要计算）；（2）r θ=与2cos 2r θ=6．计算半立方抛物线232(1)3y x =-被抛物线23x y =截得的一段弧的长度。