易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】
1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为()
A．12 B．16
C．20 D．16或20
2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．
3．(2017·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．
4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．
◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论
5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()
A．100°B．40°
C．40°或100°D．60°
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．
7．(2017·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．
8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________．
9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．
◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论
10．(2017·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝1
2BC，则△ABC的顶角度数为
______________．
11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】
◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】
12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有() A．4个B．6个C．7个D．8个
第12题图第13题图
13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．
14．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C的位置．
参考答案与解析
1．C 2.不正确 没考虑三角形的三边关系 3.3
4．解：设腰长为x cm ，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm 时，即x ＋12x ＝9，解得x ＝6，∴底边长为15－12
×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm ，6cm ，12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，即x ＋12x ＝15，解得x ＝10，∴底边长为9－12
×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm ，10cm ，4cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm ，底边长为4cm.
5．C 6.120°或20°
7．30°或90° 解析：设最小角的度数为x ，则最大角的度数为x ＋45°.当最小角是顶角时，则x ＋x ＋45°＋x ＋45°＝180°，解得x ＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x ＋x ＋45°＋x ＝180°，解得x ＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.
8．40°或25°或10° 解析：由题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①AB ＝BD ，则∠ADB ＝∠A ＝80°，∴∠BDC ＝180°－∠ADB ＝100°，∠C ＝(180°－∠BDC )÷2＝40°；②AB ＝AD ，则∠ADB ＝(180°－∠A )÷2＝50°，∴∠BDC ＝180°－∠ADB ＝130°，∠C ＝(180°－∠BDC )÷2＝25°；③AD ＝BD ，则∠ABD ＝∠A ＝80°，∴∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝160°，∠C ＝(180°－∠BDC )÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是40°或25°或10°.
9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，AC ＝CD ，则∠B ＝∠C ＝∠BAD ，∠CDA ＝∠CAD ，∴∠CDA ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠CDA ＋∠BAD ＝3∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∴∠BAC ＝108°；
(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝BD ＝CD ，则∠B ＝∠C ＝∠DAC ＝∠DAB ，∴∠BAC ＝2∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴4∠B ＝180°，∴∠B ＝45°，∴∠BAC ＝90°；
(3)如图③，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ＝BC ，则∠ABC ＝∠C ，∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠DBA ＝2∠A ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2∠A .∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°.
(4)如图④，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，CD ＝BC .设∠A ＝x ，∵AD ＝BD ，∴∠DBA ＝∠A ＝x .∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝180°－x 2，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝180°－x 2－x .∵CD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ＝∠DBC ＝180°－x 2－x ，∴x ＝180°7，即∠A ＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7
. 10．30°或150°或90° 解析：(1)当BC 为腰时，∵AD ⊥BC ，AD ＝12
BC ，∴∠ACD ＝30°.如图①，当AD 在△ABC 内部时，顶角∠C ＝30°.如图②，当AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°；
(2)当BC 为底时，如图③.∵AD ⊥BC ，AD ＝12
BC ，∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAD ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝12
×180°＝90°，即顶角∠BAC ＝90°.综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°. 11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB ＝∠D ＋∠DAC ＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A ＝90°－∠ABD ＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.
12．D 解析：∵点A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边OA ＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA 是底边时，点P 是OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA 是腰时，当O 是顶角顶点时，以O 为圆心，以OA 为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A 是顶角顶点时，以A 为圆心，以AO 为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P 共有8个，故选D.
13．5 解析：如图，分别以AB 为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C 点有5个．
第13题图 第14题图
14．解：如图，(1)当BA ＝BC 时，符合条件的有C 1，C 2；
(2)当AB ＝AC 时，符合条件的有C 3，C 4；
(3)当CA ＝CB 时，符合条件的有C 5，C 6，C 7，C 8，C 9，C 10.综上所述，符合条件的C 点有10个．。