一、塑性成形问题解的概念
对于一般空间问题，在三个平衡微分方程和一个屈服准
则中，共包含六个未知数
，属静不定问题。再利
用六个应力应变关系式（本构方程）和三个变形连续性
方程，共得十三个方程，包含十三个未知数（六个应力
分量，六个应变或应变速率分量，一个塑性模量），方
程式和未知数相等。但是，这种数学解析法只有在某些
2 平面应力问题 对于平面应力问题，变形体内各点的应 力分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的应力 分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的应力为零，则有：
x xy 0
ij yx
y
0
0 0 0
应力平衡微分方程为
x x
yx y
0
y y
xy x
0
二、塑性成形问题的简化
采用圆柱坐标系分析此类问题。假设z为对称轴，在轴对 称应力状态下，由于其对称性，旋转体的每个子午面(通过z 轴的平面)始终保持平面，并且各子午面之间的夹角保持不变， 所以沿θ坐标方向上的位移分量为零，即：
d u r d u r ( r ,z ) ,d u 0 ,d u z d u z ( r ,z )
则主应力有以下方程：
1
x + y 2
( x
y )2 2
2 xy
2
x + y 2
3 0
(
x
2
y
)2
2 xy
Tresca屈服准则为 122ks
Mises屈服准则为
1 22 212s 23 k2
二、塑性成形问题的简化
3 轴对称问题 对于轴对称问题，变形体的几何形状、物理 性质以及载荷都对称于某一坐标轴，通过该坐标轴的任一平 面都是对称面，则变形体内的应力、应变、位移也对称于此 坐标轴。
0
0
zr 0 z
则轴对称应力状态下的应力平衡微分方程可写为
r r
zr z
r r
0
0
rz z r z 0 r z r
二、塑性成形问题的简化
Tresca屈服准则为 r 2k s
z
2k
s
Hale Waihona Puke z r 2k s Mises屈服准则为
二、塑性成形问题的简化
根据塑性变形的增量理论可知：
yz zy zx xz 0
z 1 2xy m1 2maxmin
由上式可知，σz永远为空间主应力，并且是一个不变量。最
大切应力为
max k12(maxmin)
当主应力顺序 1 2 3 已知时，由以上两式可得
1 m k
2 m
3 m k
d u x d u x ( x ,y ) ,d u y d u y ( x ,y ) ,d u z 0
将上式带入到应变增量与位移增量之间关系的几何方 程，可得：
dx( d x ux),dy( d y uy),dxydyx1 2(( d y ux)( d x uy))
dzdzydyzdxz0
( r - ) 2 ( z ) 2 (z r ) 2 6 z 2 r 2 s 2 6 k 2
当 r 时，Mises屈服准则可简化为
(rz)2 3z 2 r3 k2s 2
三、边界条件
1 摩擦边界条件 在塑性加工过程中，变形体与工具的接触面上
不可避免的存在摩擦，摩擦力的方向与接触线的切线方向一致，
不变时，设其为常数)。 (2)常摩擦力模型 该模型可以用下式表示：
f
mk
式中，m为摩擦因子，其值范围为[0,1]；k为抗剪屈服强度。
上式表明，接触面上任意一点的摩擦切应力 f与正压力无关，
与变形体的抗剪屈服强度成正比。一般m=1，即最大摩擦力条件。
三、边界条件
2 自由边界条件 将裸露的、不与任何物体相接触的边 界面称为自由边界面。处于自由边界面上的变形体不受 任何约束力的作用，大气压力可以忽略不计，因此，在 自由边界面上的正应力和切应力均为零。
特殊情况下才能解，而对一般的空间问题，数学上的精
确解极其困难。对大量实际问题，则是进行一些简化和
假设来求解。
根据简化方法的不同，求解方法有下列几种。
1． 主应力法（又称初等解析法）
2． 滑移线法
3． 上限法
4． 板料成形理论
5． 有限元法
二、塑性成形问题的简化
1 平面应变问题 对于平面应变问题，变形体内各点的位 移分量与某一坐标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的位 移分量为零。 假定变形体内各点沿z轴坐标方向的位移为零，则有：
将上式带入小变形几何方程可得
dr( drur),dz( dzuz),ddrur,dzr1 2(( dzux)( dx uz))
drdz0
二、塑性成形问题的简化
由应力应变关系式可得 rrzz0
由上式可知，子午面上的应力σθ永远是主应力，这样
轴对称应力状态下的应力张量可以写为
r 0 rz
ij
二、塑性成形问题的简化
由此可见，对于平面应变问题，变形体内任意一点的应 力状态都可以用平均应力和最大切应力来表示。平面应 变状态下的应力平衡微分方程为：
x x
yx y
0
y y
xy x
0
设σ2为中间主应力，则Tresca准则为
132ks
Mises准则为 (xy)24x 2y4k2
二、塑性成形问题的简化
3 准边界条件 在塑性变形过程中，在变形体内部某些区 域的边界上也有规定的力，例如对称面上的切应力必须 为零；塑性流动区与刚性区或死区边界上的切应力等于 抗剪屈服强度k。这些界面虽然不是变形体的自然边界， 但是，当以变形体内某部分作为研究对象时，这些界面 就成为研究对象的边界面，通常将变形体内部各部分之 间交界面上所应该满足的变形条件称为准应力边界条件。
并与变形体质点的运动方向相反，阻碍质点的流动。摩擦问题比
较复杂，影响因素很多的，常用的摩擦模型有以下两种：
(1) 库仑摩擦模型 用库仑定律来描述变形体与工具接触表面之间
的摩擦，即按接触表面上任意一点的摩擦切应力与正压应力成正
比 式 数。中(该其值 表一f 为达般摩式根擦为据切：经应验力确；定 f，n 为与接变触形n面速上度的无正关压。应当力接；触μ为表摩面擦温因度
金属塑性成形解析方法
第一节
塑性成形问题的解与简化
一、塑性成形问题解的概念
塑性成形力学的基本任务之一就是确定各种成形工序所 需的变形力，这是合理选用加工设备、正确设计模具和 制订工艺规程所不可缺少的。 由于塑性成形时变形力是通过工具表面或毛坯的弹性变 形区传递给变形金属的，所以为求变形力，需要确定变 形体与工具的接触表面或变形区分界面上的应力分布。 塑性成形力学解析的最精确的方法，是联解塑性应力状 态和应变状态的基本方程。