1. 已知：如图1
求证：DE ＝DF 证明：连结CD
AC BC A B
ACB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD
=∴∠=∠∠=︒∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，
∴≅∴=
∆∆ADE CDF
DE DF
AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF
BE DF
===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()
在∆BCE 和∆DAF 中，
BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∆∆()
∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH
∴==︒∠∠AHB NHB 90 BH ＝BH
∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN
()，
同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH MN //
即KH 已知：如图
求证：FD ⊥ED
证明一：连结AD
AB AC BD BAC BD DC
BD AD
B DAB DAE
=∴+==︒=∴=∴==，∠∠∠，∠∠∠129090
在∆ADE 和∆BDF 中，
AE BF B DAE AD BD ADE BDF FD ED
===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆31
3290
5. 已知：如图6所示在∆ABC
中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

()
∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO
AEO AFO SAS ，∆∆42
又∠=︒B 60
∴∠+∠=︒∴∠=︒
∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠=∠=︒
∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC
()
即AC AE CD =+
6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。

求证：EF ＝BE ＋DF
证明：延长CB 至G 在正方形ABCD 中，
∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF AG AF ，13
又∠=︒EAF 45
∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145
即∠GAE ＝∠FAE ∴=∴=+GE EF
EF BE DF
如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，
连结CE、DE。

作
SAS
()
>
AB AC
AB AD AD ADB
DE E B
B
E
DC BD DC
∠=∠=
≅
∠=∠
>∠
>∠
∴>
，，
，
，
21
∆
∠B
证明：取CD的中点F，连
AC AD
AF CD
AFC =∴⊥∴∠= 又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，
∴∠=∠=∴≅∴=∴=431
2
AC CE
ACF CED ASA CF ED
DE CD
∆∆()
CB CE BCD ECD CD CD CBD CED
B E
BAC B BAC E
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22
又∠=∠+∠BAC ADE E
∴∠=∠∴=∴==
ADE E AD AE
BC CE ，
3. 证明：延长PM CQ AP BP BP CQ PBM ⊥∴∴∠=∠，// 又BM CM =， ∴≅∴=∆∆BPM CRM PM RM
∴QM 是Rt QPR ∆
斜边上的中线 ()
BC AB AC BC AD AB AC BC AD AB AC BC ∴<++∴<++∴<++241
4。