H (e j ) h(n)e jn 1 e j 2e j / 2 cos
n
2
3
2-1 试求矩形序列x(n)=R5(n)的频谱，并作图。
X
(e j )

j N 1
e2
sin( N 2
)
sin(1 )
2
sin(5 / 2)
0 2 5
4 6 8 2 55 5
1
[e
j
2 16
3k

j 2 3k
e 16
]
3
[e
j
2 16
5k
j 2 5k
e 16 ]
2
2
已知
(n) N点DFTRN (k)
由时移性质
x((n

m))N
RN
(n)
N点DFT

e
j
2 N
mk
X
(k
)
x(n)

{1 2
[
((n

3))16


((n

3))16
sin( / 2)
0 2 5
4 6 8 2 555
()
5
o 2π 5
arg[()]
π(1-1/N)
o 2π
N
- π(1-1/N)
N=5
2π

2π

4
1、求 X (k) cos(2 3k) j3sin(2 5k)
16
16
的16点离散傅立叶反变换x(n)。
X
(k)

解： (1)
1 0 2 13
1 0 2 13
3 0 6 39
10213
20 4 2 6
000 0 0
1021 3
1 0 4 2 10 4 13 6 9
x(n)
3 2 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n
y1(n) x(n) x(n)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n
6

N
1
x(n)WN
n
k r
n0

X(k) r
k 0,1,2, , rN 1
9
3-12 已知序列x(n)是有限长序列，X(k)=DTFT[x(n)]，现
将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的
有限长序列y(n)
x(n / r), n ir,i 0,1, , N 1
若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其DTFT的虚部为: H I (e j ) sin ，求序列h(n)及其DTFT H (e j ) 。
H I (e j )

sin


1 2j
(e j
e j )
DTFT[ho (n)]
jH
I
(e
j
)


1 2
(e
j
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
7
3-9 设有两个序列
x(n)

x(n), 0,
0n5 其他n
y(n), y(n) 0,
0 n 14 其他n
各作15点DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为f (n)，问f (n)的哪些点（用序号n 表示）对应于x(n)*y(n)应该得到的点。
试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。
解：
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WN nk
n0
k 0,1,2, , N 1
rN 1
N 1
Y (k) DFT [ y(n)] y(n)WrN nk x(n)WrN nk
n0
n0
]

3 2
[
((n

5))16


((n

5))16
]}R16
(n)
x(n) 1 [ (n 13) (n 3)] 3 [ (n 11) (n 5)]
2
2
5
3-8 下图表示一个5点序列x(n)，试画出：
(1) x(n)* x(n) (2) x(n)○6 x(n) (3) x(n) ○10 x(n)
(2)
1 0 4 2 10 4 13 6 9 13 6 9 14 6 13 2 10 3
y2 (n) x(n) 6 x(n)
(3)
L 10 9
x(n)○10 x(n) x(n)* x(n)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n
y3(n) x(n) 10 x(n)
{1,0,4,2,10,4,13,6,9,0}
xˆa (t)的频谱；
X a ( j)

0 3 54
0.25
r1
0 3 5
8
由图可知，xˆa (t) 通过 H ( j)后其输出信号为： ya (t) cos(2t) cos(3t)
2
习题2——DTFT的性质
n=0到n=4(=N-L-1)这5点处发生混叠，即f (n)中只有 n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点.
8
3-11 已知序列x(n)是有限长序列，X(k)=DTFT[x(n)]，现
将它变成rN点的有限长序列y(n)
y(n)

x(n), 0,
0 n N 1 N n rN 1
y(n) 0,
其他n
试求rN点DFT 与X(k)的关系。
解：
N 1
X (k) DFT [x(n)] x(n)WN nk

（1） xˆa (t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT ) n

xˆa (t) [cos(2nT ) cos(5nT )] (t nT ) 1 n
（2）如下图所示， X a ( j)为 xa (t)的频谱，Xˆ a ( j)为

e j ) ho (n)e jn
n
ho
(n)


1 , n 1 2 0, n 0

1,n 1 2
0, n 0 1, n 0
h(n)

h(n),n 0



1, n 1
2ho (n),n 0 0, others
习题1——抽样定理
对xa (t) 进行理想取样，取样间隔T 0.25s ,得到 xˆa (t) , 再让 xˆa (t) 通过理想低通滤波器 H ( j) ，其中：
H
(
j)

0.25,| | 4

0, 4 | |
设：xa (t) cos(2t) cos(5t) ，要求： （1）写出 xˆa (t) 的表达式； （2）求出理想低通滤波器的输出信号 ya (t) 。