武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）
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注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、计算题（每题5分，6题共30分）：
1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n
A .
2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232
，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.
4．已知阶矩阵
(2)n ≥，且非奇异，求**
()A .
5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足
0+==E A E A -，
计算A I 323+.
6. 设n 阶向量T
x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .
二、解答题（3题共45分，每题15分）
1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且()2R A =，满足
，求a 和
.
2．已知2222
54245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.
3、设二次型222
123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,
(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1
-成为对角阵;
(3).计算m
A (m 是正整数).
三、证明题和讨论题（2题共25分）：
1.（10分）设
是阶实方阵，
(1).当为奇数且I AA T
=及
时, 证明：0=-A I .
(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.
2.（15分）对线性空间3
R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：
(1).向量组B 是否能成为3
R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到
123,,βββ的过渡矩阵P ,其中
1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，且a 为实数.
(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，
（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；
（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.
（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答
一、计算题：
1、11113111
111()n -
-⎛⎫
⎪--- ⎪
⎪--⎝⎭
；2、12
12λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n A
A -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：
1、解：由初等变换求得a ＝1
，（记E I =
，下同），由0≠-E
A ，因此 可逆 ，且
2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。

时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，即
时无解。

时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形
:
因 ，所以
时有无穷多解。

等价方程组为:
令
，得通解为：
3、解：1) 二次型的矩阵为A ＝;
|
E-A |＝
=(+1)(－2)
所以A 的全部特征值为： ＝－1, ＝
＝2
对 = —1, 解 (－E －A )X ＝0 得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对
＝
＝2, 解(2E —A )X ＝0得基础解系为
＝ (—1,1,0),
＝ (—1,0,1)。

2).令P ＝123(,,)ααα＝
，即为所求可逆阵，此时AP ＝＝
.
3) 1(1)2(1)42--=Λ==-m
m
m m
m m m
A
P P .
三、证明题和讨论题
1、证明： 1）
，所以
.
2）由12121()---+=+++⋅⋅⋅++=m m m m m A E A k A k A k A E o ，其中(1,2, 1.)=⋅⋅⋅-i k i m 均为
组合系数. 得12
3121()0----+++⋅⋅⋅+=-≠m m m m A A k A
k A k E E , 从而0.≠A 即可逆.
(另证:设
为A 的任意一个特征值，X 为对应的特征向量，则AX=
X ，注意EX=X , 两式
相加(A +E )X=(+1)X , 两边左乘矩阵A +E ，得(A+E )X =(+1)(A +E )X =(+1)X.
重复该过程可得(A +E )X=(+1)X ,而(A +E )=0，且X
0，所以有(+1)=0
故A 的任一个特征值都为－1，由|
|=
=(1)0m
-≠
,
可逆。

)
2、解：设123(,,)A ααα=,123(,,)B βββ=,
1）111011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1
1111120B a a ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
－，易知1≠a 时, 123,,βββ能成为3
R 中的基.即有=A BQ ,且0≠Q ,令11 ()--==B AQ AP P Q ＝，故能用A 线性表示B .由初等行变换 求得1110011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－＝－，则所求过渡矩阵为10
0211120P A B a a a a --⎛⎫ ⎪==--+ ⎪ ⎪-⎝⎭
. 2) 由题设C B A ＝，其中221C=212122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
k －－－－，且3
270=≠C k .
如果0≠A ，即123,,ααα线性无关，则有C C 0=≠B A A ＝，得123,,βββ线性无关； 反之如果123,,βββ线性无关，则由C 0=≠A B ，得到0≠A . 可见, 123,,ααα线性无关是123,,βββ线性无关的一个充分必要条件. 如果123(,,)ααα=A 是正交阵,即T
=A A E ,
则22
2212212122129122122T T T T -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪===---= ⎪⎪ ⎪⎪
----⎝⎭⎝⎭
B B
C A AC C C k k E ,可见13=±k 时.B 是
正交阵.
反之B 是正交阵时, 29T T T T
===BB AC CA k AA E ,即T
=
AA 219E k ,可见13
=±k 时,A 是正交阵.综上,
B 为正交阵的一个充要条件是13
=±k 且A 为正交阵.。