1 2
是以
3 2
为首项,
3 为公比的等比数列
故
an
1 2
3n 2
即
an
3n 1 2
8.(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足 a1 1
an1 3an 1
（Ⅰ）
an
3n 1 2
（Ⅱ）证明：
1 a1
1 a2
…+ 1 an
3 2
（
Ⅱ
）由(Ⅰ)知
an
3n 1 2
即
1 an
2 3n 1
因当n≥2时， 1 an
2 3n 1
1 3n1
所以
1 a1
1 a2
…+ 1 an
132
1 3
1 32
1 3n1
1
1 3n
1 1
3
3 2
1
1 3n
3 2
9.(2010年安徽)设 C1,C2,L ,Cn,L 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 y 3 x 相切
3
对每一个正整数n圆 Cn 都与圆 Cn1 相互外切，以 rn 表示
面积均相等， 故
相互
…… 不妨将所有的△看成是等腰△，由边夹角式面积公式可得
经检验
5.(2011年全国)已知等差数列{an} 的前n项和为 Sn
若 OB a1OA a2011OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点O) 则S2011=________
析：因A,B,C三点共线，故 a1 a2011 1
从而 OCn1 OCn CnCn1 3rn rn1 ……②
由①②式可得 rn1 3rn
…………
Tn+1 Tn
O
x
Cn
Cn+1
（Ⅱ）：由(Ⅰ)可得
rn
n 3n1
错项减
乘除公比错位减 等差等比积数列 一设二乘错位减 整理剩余套公式 前三后二要简明 公式求导裂项消
数列 {(dn b)qn} 的前n项和一定为 (An B)qn B
§145 数列的综合应用(一)
综合应用渠道多 知识方法及内外
1.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的 等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则小于 8的概率是_______
析：易得 an (3)n1
故 a2, a4, a6, a8, a10 0 8
a1, a3, a5, a7 , a9 0 又因 a1 1 8 , a3 9 8
Cn 的半径，已知 {rn} 为递增数列 (Ⅰ)证明：{rn} 为等比数列
（Ⅱ）设 r1 1 ，求数列 { n }的前n项和
rn
析：(Ⅰ)
因直线
y
3 3
x
的斜率为
3 ，故
3
O 300
即 OCn 2TnCn 2rn ，OCn1 2Tn1Cn1 2rn1 ……①
又因圆 Cn 与圆 Cn1 外切 ，故 CnCn1 rn rn1
故P 6 3 10 5
2.(2012年湖北)定义在 (,0) U(0, ) 上的函数 f (x) 如果对于任意给定的等比数列 {an} ,{ f (an )}仍是等比数列 则称 f (x) 为“保等比数列函数,”现有定义在 (,0) U(0, )
上的如下函数: ① f (x) x2
② f (x) 2x
又因
S2011
a1 a2011 2011 2
故
S2011
2011 2
6.(2013年浙江)某程序框图如图所示,
若该程序运行后输出的值是 ,则
A．
B.
C.
D.
【A】
法1：特值验证……
法2：由程序框图可得其功能是
Sn
1 1 1 2
1 23
1 k (k
1)
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
Sn
9 4
6n 9 4 3n
作业:
1.《固学案》P： 18 左 Ex2
2.《固学案》P： 37 左 Ex3
3.(2012年福建)数列 {an}的通项公式
an
n cos
n
2
1
,前n项和为 Sn
则 S2012 _____
预习：
继续研究：数列的综合应用
25
,
Sn S2, , S100 中,正数的个数是 【D】
A．25
B．50
C．75
D．100
析：易得 T=50
a1
sin
25
0
a26
1 26
sin
26
25
1 26
sin
25
1 26
a1
a2
1 2
sin
2
25
0
a27
1 27
sin
27
25
……
1 27
sin
2
25
2 27
12 23
k k 1
2 1 9 k 1 5
7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死 一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌 和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要
A.6秒
B.7秒
C.8秒
D.9秒 【B】
析：依题意可知 1 2 22 2n1 100 即 2n 1 100 2 1
a2
a24
1 2
sin
24
25
0
a49
……
1 49
sin
49
25
a25 0
a50 0
1 49
sin
24
25
24 49
a24
4.(2013年安徽)如图,互不相同的点
和
分别在角O的两条边上,所有的
平行,且所有梯形
的面积均相等.设
若
则数列 的通项公式是_____
析：因 即
故A1是OA2的中点 ，又因所有梯形的
故 2n 101
即 n7
8.(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足 a1 1
an1 3an 1
（Ⅰ）证明:
an
1 2
是等比数列，并求{an }的通项公式
（Ⅱ）证明：
11 a1 a2
…+ 1 an
3 2
（Ⅰ）证明: 因 an1 3an 1
故
an1
1 2
3
(an
1) 2
所以数列
an
③ f (x) | x | ④ f (x) ln | x |
则其中是“保等比数列函数”的 f (x)的序号为 【C】
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
析：本意是考查等比数列的定义，性质……
小作：不妨取 1,-1,1，-1，…… 1,2，4，8，……
3.(2012年上海)设 an
1 n
sin
n