等腰直角三角形中的常用模型
一【知识精析】 1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是 45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形： 以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角 形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
OD，求∠AOD 的度数；
（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG
为直角边作等腰 Rt△EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式 AM FM 1 是 OF
否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
变式 3：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AF ⊥BD 于点 G，交 BC 于点 F 连接 DF，求证：∠1=∠2。
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把 DE 平移到 CF，使 E 与 C 重合，连接 AE、AF，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）
例.如图：两个直角三角形 ABC、ADE 的顶点 A 重合，P 是线段 BD 的中点，连 PC、PE。
（1）如图 1，若∠BAC=∠DAE=45°，当 A、C、D 在同一直线上时，线段 PC、PE 的关系
是
；
（2）如图 2、3，将⊿BAC 绕 A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明
你的结论。
E B
E E
B
B
C
P
C
P
P
A
C
DA
DA
D
图1
图2
图3
三【巩固练习】
1．如图，在 RtABC 中，AB AC ,∠ BAC 90 , D 、E 为 BC 上两点，∠ DAE 45 ，
变式 1：如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF⊥CD
于 H 交 BC 于 F，BE∥AC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE.
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，点 D 是 AC 的中点，AF⊥BD 于点 E， 交 BC 于点 F，连接 DF，求证：∠1=∠2。
交 AB、AC 于点 M、N。
（1）若∠MON=90°（如图 1），求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2；
A
（2）若∠MON=45°（如图 2），求证：①AM+MN=CN；
M
B
O
图1
N C
A N
M
B
O
C
3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A（4，4）。
图2
（1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例 1．如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于点 E，过 C 作 CF⊥AD 于点 F。
例 1、如图 1，△ABC、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接 AF、CF， M 是 AF 的中点，连 ME，将△BEF 绕点 B 旋转。猜想 CF 与 EM 的数量关系并证明；
（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：
（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全 等三角形：
变式 2：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CD
⊥BE 于 D，DM⊥AB 交 BA 的延长线于点 M，
BM
AM
（1）求 AB BC 的值；（2）求 BC AB 的值。
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：
（2）若 PC=2PB，求 PC 的值 MB
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：RtΔABC 中，∠BAC=90º，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BE⊥AD 于 点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线与于点 F。 （1）求证：BG=AF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的 结论并证明。
F 为 ABC 外 一 点 ， 且 FB ⊥ BC , FA AE , 则 下 列 结 论 ： ① CE BF ; ②
BD 2
CE 2
DE 2 ;③ S ADE
1 4
AD EF
;④ CE 2
BE 2
2 AE 2 ,其中正确的是
A
A、①②③④
B、①②④
C、①③④
D、②③
F
B
D
C E
2．已知：Rt⊿ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作∠MON，
（1）求证：BE-CF=EF； （2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
的结论并证明。
如图 1，等腰 Rt ABC 中，AB=CB，∠ABC=90º，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合）， 以 AP 为腰长作等腰直角 PAQ，QE⊥AB 于 E ，连 CQ 交 AB 于 M。 （1）求证：M 为 BE 的中点
例 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，过 C 作 CD⊥BE 于 D， 连接 AD，求证：∠ADB＝45°。
变式 1：等腰 Rt△ABC 中，AC=AB，∠BAC＝90°，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE 延长线上 一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。