高等代数II 第一章多项式第5节.因式分解定理教学大纲.素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。

其实，正整数的因子分解都是世界难题。

多项式就更不可能容易。

先别去碰难题。

还有些入门的小儿科都没有搞清楚。

比如,1不能分解,为什么不是质数？学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？-6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 22X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。

你分到不知道怎么分就结 束了。

为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。

有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。

因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。

最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。

大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。

比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3+1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解：不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数.1是质数还是合数？1不能分解，是质数.1既不是合数，也不是质数.既不是合数，也不是质数，是什么呢？它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？例1. 学生 老师 学生 老师 点评1和2都不能分解，它们有什么区别？例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。

解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。

(2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个.乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个.(3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个.除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个.(4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。

(5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定210 210 =210-10=20=1点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减.乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。

素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个素因子。

结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数.0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了.如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。

2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数.例3. 如下整数是几个素因子的乘积.(1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6.解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。

(2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。

1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积.既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。

(3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。

素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。

但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。

后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。

p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。

就永远分不完了。

由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.不应该是P自己，也不应该是P的-1倍-P。

-1应该看成与1同样都是0个素因子。

P的-1倍(-1)P应该看成与P是同一个素因子，同样都是素数。

虽然它们不相等，但是可以把它身上的倍数-1 随时拿走或添上， (拿走.可以乘另外一个素因子，添上可以在另外一个素因子也添一个, 不改变乘积，也不改变素因子个数。

)不能说(-1)p与P相等，但称它们相伴。

⑷6=2 X3=(-2)(-3)两种分解都正确，素因子都是2个。

(5)-6=(-2)3=2(-3), 2个素因子。

3.数域上多项式的分解：可逆元. 与整数的分解同理，1 的因子是每个多项式的因子, 可以无穷地往外提取，不能算是一个独立的因子，只能算是“ 0个素因子”，不能充当因式分解的因式。

因式分解f(x)=g(x)h(x) 的每一个因式都不能是1 的因子，这样的分解才算是真正的分解。

哪些多项式g(x) 是1 的因子，满足1= q(x)g(x) ? 多项式q(x), g(x) 乘积g(x)h(x)=1 的次数等于q(x),g(x) 次数之和. 但1 的次数等于零, 多项式次数不能为负, 因此1 的因子q(x), g(x) 的次数都是0，都是非零常数。

g(x)=c 0 是非零常数，它的逆c-1=1/c也就是c的倒数，也是非零常数，也是多项式。

因此我们称c是多项式集合中的可逆元。

如果g(x)次数至少是1,含有字母X,它的逆g(x)-1=1/g(x) 就是分式而不是多项式，这样的g(x) 就不是多项式集合的可逆元，而是分式集合的可逆元。

分式集合的可逆元很多, 除了0以外的分式都是可逆元。

有理数集合也是除了0 以外都是可逆元，所以称有理数集合Q 是数域。

分式集合也是域，但其中大量的元素不是数，因此不是数域，而称为分式域。

正整数集合只有1 才是可逆元。

因子分解只要两个因子都不是1，就是真正的分解，只有a=aX1不算是分解,算是没有分解。

整数集合Z有两个可逆元1,-1, a=a X1=(-a)(-1) 都算是没有分解。

多项式集合P[x] 中所有的非零常数c 都是可逆元, c-1都是多项式，就有无穷多个可逆元。

从多项式f(x)提取可逆元作为因子得到的分解f(x)= c(c-1f(x))都不算是分解，而算是没有分解。

如2x+4=2(x+2), 2x+3=2(x+1.5)都不算分解。

但如果不在有理系数多项式集合内而在整系数多项式集合内分解，也只有1,-1 是可逆元，2 不是可逆元，2x+4=2(x+2) 就是真分解。

2x+3 就不能分解了。

只要一个运算系统对加减乘封闭, 就可以考虑元素的因子分解。

不过，如果乘法不交换，就不好办。

例如同一数域上的全体n 阶方阵对加减乘封闭，但乘法不交换，你就难以分解。

还存在两个非零方阵A,B 的乘积为零，这也会给因式分解制造麻烦。

我们学过因式分解的整数集合Z, 数域P 上多项式集合P[x] 都没有这些奇怪现象，很规矩，适合做因式分解。

但0 和可逆元不能出现在因式分解中充当因式。

0 本来就不是非零元的因子，不会出现。

所有的可逆元都是所有的数的因子, 如果允许它们充当因子, 它们全都可以出现任意多次，因式分解就没法收场了。

因此就一律不准它们作为独立因子出现。

因式分解, 就是将非零非可逆的元素分解为非零非可逆的元素的乘积a=pip2・・-pm直到每个因子p i 都不能再分解为两个非零非可逆的元素的乘积。

二．教材内容解读有了以上的观念，就不难理解教材这一节各种定义和定理了。

1.不可约多项式.教材第18页定义8.数域P上次数》1的多项式p(x)称为域P上不可约多项式，如果它不能表成两个数域P上次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。

解读：要求p(x)的次数》1,就是p(x)不是常数,有一个含有x的项a k x k (k>0) 的系数a k 0。

p(x)不是0也不是可逆元。

只考虑这样的多项式的因式分解。

也只允许这样的多项式作为分解出来的因式。

不可约就是不能分解。

但是，任何p(x)总可以提出任何一个可逆元因子C,分解为p(x) = C C-1 p(x)，常数因子C为零次多项式,另一个因子是p(x)的常数倍,次数与p(x) 相等. 为了排除这种情况，就不承认这种分解为真分解，认为它是“假分解”，实质上没有分解.要求的真分解是两个因式的次数都要低于p(x)，经过分解之后把p(x)的次数降下去，这才是真正的分解.只要有一个因式的次数没降，另一个因式的次数就是0，这就是“假分解”。

两个因式的次数都降了,次数也就都大于0，将p(x) 的次数真正分摊了。

这才是分解。

已经不能分摊了,就是分解到底了, 这就叫不可约。

与其说他是解释不可约,不如说是解释什么叫可约。

可约解释清楚了,做不到的就叫不可约。

初中就知道，可约还是不可约，依赖于系数范围P。

比如x4-4在有理数范围内分为(X2+2)(X2-2),两个因子都不可约了。

实数范围内，后一个可以分解，前一个仍不可约。

复数范围内都可分解到一次因式才不可约。

2.分解定理：(第19页)数域P上每个次数》1的多项式f(x)都可以唯一地分解为数域P上一些不可约多项式的乘积.(1)可能性：如果f(x)已经不可约，已经分解成一个不可约多项式的乘积。

如果可约，可分解成两个次数》1的因式g(x),h(x)的乘积f(x)=g(x)h(x)。

如果两个因式都不可约,分解已完成。

只要还有一个因式可约, 就可以将它分解为两个次数》1的因式g(x),h(x)的乘积,f(x)成为3个次数》1的因式的乘积。

只要还有一个因式可约, 就可以再分解一次, 增加一个因式。

经过m 次分解f(x)=g1(x)g2(x)…g m+1(x)被写成m+1个次数》1的因式g i(x)的乘积，次数和s>m+1,等于f(x)的次数n. 由不等式n=s》m+1知m <n-1.经过不超过n-1 次分解，分解就不能再继续进行下去了,就是说所有的因式(不超过n 个)都不可约了. 就完成了定理要求的分解。

(2)唯一性：教材定理对唯一性做了如下解释：如果有两个分解式f(x)=p 1(x) p2(x)…p s(x)=q1(x)q2(x)…q t(x)那么必有s=t.并且适当排列因式的顺序后有P i(x)=c i q i(x), 0 o€ P, ( =1,2,...,s).所谓唯一性，当然不是分解出来完全相同。