xx
x
则当 x X时恒有 sin x 0 ，
x
故 lim sin x 0. x x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近无穷大”？
" X"定义 lim f ( x) A：
x
0 , X 0 , 使当 x X 时 , 恒有 f (x) A .
例5 证明 lim sin x 0. x x
证 0, 欲 使 sin x 0 ，
x
sin x 1 , 只需 1 ，取 X 1 ,
1 2
1 22
1 2n
;
1
ln 1 2n
1
数列极限的定性描述
Definition 如果n无限增大时，数列{an}
的通项an无限接近于常数a，则称该数列 以a为极限，记做
lim
n
an
a,
或
an a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
上例中，
1
lim
n
2n
0.
以0为极限的变量称为无穷小量.
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题: 当n无限增大时, an 是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n 无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它?
an 1
(1)n1
1
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
递推公式an1 3 an 说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 a1 , a2 ,, an ,.
a2 a1 a3 a4 an
2.数列是整标函数 xn f (n).
芝诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用
P1,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
第 n 次分叉：
周长为
Pn
(
4 3
)n1
P1
面积为
n 1,2,
An
An1
3{4n2[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
34 (1)2 9源自A134n2(1)n1 9
A1
A1
{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
化的时间为 1000 100 ,在这段时间里,乌龟又爬了 v 100 100
10v v
v
米, 阿基里斯为跑完这段路又花费时间 100 10 ,此时乌龟又在他 10v v
前面 10 米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
这是一个公比为 q 1 1 的几何级数,易求得它的和为 10
1 n
1 n
an
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
只要 n
100时,
有
an
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n
1000时, 有
an
1
1 ,
1000
给定 1 , 10000
只要 n
10000时,
有
an
1
1, 10000
任 意 给 定
0,
取N
1
,
只要
n N 时,
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程. " "定 义 lim f ( x) A：
x x0
0 , 0 , 使当0 x x0 时 ,
恒有 f (x) A .
x0
x0
x x
说明：
1. 函 数 极 限 与f ( x)在 点x0处 是 否 有 定 义 无 关;
恒有 an 1 成立.
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数N, 使 得对于 n N 时的一切 an ,不等式
an a 都成立,那末就称常数 a 是数列 an 的极限,
或者称数列 an 收敛于 a, 记为
lim
n
an
a,
或
an a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正
3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
数列的定义
按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
a1 , a2 ,, an , (1)
靠的向导，这种挑战迫使数学家们
为其职业制定更高更严的标准，曲
线的定义也需要加以修改，以适应
类似这种“病态”的雪花怪物.
截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一 天截 下的杖 长为l1
1; 2
第 二 天 截 下 的 杖 长 总 和为
l2
1 2
1 22
;
第n天 截 下 的 杖 长 总 和 为ln
f ( x) A C C 0 成立, lim C C. x x0
例2
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例3 证明 lim 4x2 1 2. . x1 2x 1
2
证 0 ,
欲使 4x2 1 2 , 即 2 x 1 ,
2x 1
2
故只需取 ,
2
当 0 x 1 时,必有 4x2 1 2 .
2
2x 1
得证。
单侧极限：
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) ; x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
科学家们通过悖论来提出问题. 悖论是科 学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论 体系的挑战，是对人类智力的挑战. 研究 悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷， 而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学 科基础理论的缺陷——修改或重建某些基 础理论，从而使科学研究朝着健康的方向 发展. 这是一种客观的需要.
注意：1.不等式an a 刻划了an 与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数有关.
“ N” 定 义 :
lim
n
an
a：
0 , 正整数N ，使当n N 时 , 恒有an a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 aN x
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
1000 1 1
10000 11111 ，
9
9
10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则
乌龟胜；如果赛程恰好等于这个距离,则双
方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起
点1111 1 处追上并超过乌龟.
9
中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人 之意，能胜人之口，不能服人之心”.
如
1 2n
为n→∞时的无穷小量
每一项均为常数的数列称为常数列.
常数列的极限仍是该常数.
如数列{1,1,1,…}为常数列，且 lim 1 1. n
绝对值无限变大的变量称为无穷大量，或称
其收敛于∞，或－∞.
如2n,-2n 均为无穷大量，且
lim 2n , lim (2n ) .
n
n
数列极限的定量描述
曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点
都是“尖点”）.
这种奇怪的几何怪物的发现,向
还好我的
十九世纪的数学家提出了挑战，因 为这种曲线打破了人们的直觉观念: 连续曲线总能借助于铅笔的不间断
浪漫没这 么抽象
移动画出来，局部曲线总是 “光滑”
的. 但是Koch曲线提醒人们，在研
究无穷过程时，直觉是一个很不可
n
n
n
例7
证明
lim
n
1 2n
0.
证
0,
欲使
1 2n
0
,
只要
2n
1 ，即
n
log 2
1
，取
N
log 2
1
,
则当 n N 时,
就有
1 2n
0
,
即证得
lim
n
1 2n
0.
§2 函数极限
1、自变量在有限点处的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
Example Koch 雪花
做法：先给定一个正三角形，然后在每条 边上对称的产生边长为原边长的1/3的小 正三角形．如此类推在每条凸边上都做类 似的操作，我们就得到了面积有限而周长 无限的图形——“Koch雪花”．
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为 P2
4 3
第一章 微积分的直接 基础——极限
§1 从阿基里斯追赶乌龟谈起 ——数列极限
一、数列概念
割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》 利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割 圆术，就是极限思想在几何上的应用。