X2
...
X 100

1 } （用中心极限定理）
100
3
解： EX

1
xf (x)dx

1
x 2xdx

1
2 x 2 dx
2
0
0
0
3
EX 2 1 x 2 2xdx 1 2x3dx 1 , DX EX 2 (EX )2 1
0
0
2
18
P{ X1
M (M 1)
3.在 H0 为原假设, H1 为备择假设的假设检验中,若显著性水平为 ,则（ C ）。 （A） P （接受 H0 H0 成立）= ； （B） P （接受 H1 H1 成立）= ； （C） P （接受 H1 H0 成立）= ； （D） P （接受 H0 H1 成立）= 。
4. 设随机变量 X 和Y ，若 E( XY ) E( X )E(Y ) ，则下列结论一定成立的是（B ）。
f
(x,
y)

Axe y
,0

x

1,0

y

x
2

0,
其他
求：（1）常数 A；（2）求 X 与 Y 的边缘概率密度 f X (x) 和 fY ( y) ；（3）判断 X 与 Y 的独立
性。
解：（1） f (x, y)dxdy 1
D
f (x, y)dxdy
U W ， 拒绝 H 0 ,认为元器件的平均寿命有显著变化。
（八）（6）
已知 X 1 和 X 2 的概率分布律：
1
X1
~

1
0 1
1 1

，
0
X2
~
1
1 1

，而且
P(
X
1
X
2

0)
1
4 2 4
2 2
（1） 求 X 1 和 X 2 的联合分布律；
（2） 问 X 1 和 X 2 是否相互独立？为什么？
^
^
max{x1, x2 ,...xn} 2或 min{x1, x2 ,...xn }。
（六）（10）设随机变量 X 的密度函数为
f
(
x)

2x,

0,
0 x1 其它
现有 100 个与 X 相同的分布、独立的随机变量 X 1 , X 2 ,..., X 100 ，求
P{ X 1
是无偏估计。（4 分）
n
（2）
f
(x)

1 2
,
x 2
0,
其它
n
似然函数 L(x, ) f (xi ) i 1
L(
x,
)

(
1 2
)
n
xi 2，i 1,2,...n
（2 分）
0
其它
因为 L(x, ) 是常数， 所以对任意 都可视为最大值，当然 必须满足
东华大学 2017~ 2018 学年第 一 学期期_末__试题
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 概率论与数理统计 A(理工类)（A 卷）使用专业 全校各专业
班号________教师___________姓名________________学号__________
试题 一
（ D）
（A）5
(B) 7
(C) 11
(D) 13
2. 设 M 件产品中有 n 件次品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件不是次品，则另一
件是次品的概率是（ C ）。
2n(M n)
n 1
2n
n(2M n 1)
（A）
（B）
(C)
(D)
M (M 1)
2M n 1 M n 1
e 0，
x2
),
0 x 1
fY (y)
0，
其它
（3）不是相互独立的， f (x, y) f X (x) fY ( y)
（五）（12）设 X1, X 2,...X n 是取自总体 X 的一个样本，X 服从区间[ , 2] 上的均匀
解：根据条件
X1 \ X2 0 1 1 x 0 0 yw 1 z0
x

1 4
,
z

1 4
,
y

w

1 2
,
w

1 2
,
y

0
不相互独立， P{X1 1, X 2 1} P( X1 1)P( X 2 1)
二
三
四
五
六
七
八 总分
得分
查表数据： t0.05 (8) 1.860 ， t0.05 (9) 1.833 ， t0.025 (8) 2.306 ， t0.025 (9) 2.262 ，

2 0.05
(9)

16.919
，

2 0.025
(9)

19.023,
(1.28)

0.9,
(1.645)
<=1/4
。
5. 设 F1 (x) 、 F2 (x) 分别是随机变量 X1 、 X 2 的分布函数，且 F (x) aF1 (x) F2 (x) 也是
分布函数，求 a = 2
。
（二）选择题（每题 4 分，共 5 题，全部是单选题）
1. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X～N (0，9)，Y～N (0，1)，令 Z X 2Y ，则 D (Z)=
解： H 0 : 0 120, H1 : 0
U X 0 ~ N (0,1) / n
拒绝域：
W {U || U | u / 2} {U || U | 1.96}
计算样本值
U X 0 123 120 4 1.96 / n 3 / 16
（A） n X ~ N (0,1) ；
（B） X ~ N (0,1) ；
n
（C） X i2 ~ 2 (n) ； i 1
（D） X / S ~ t(n 1)
计算题
（三）（12）某仪器装有 3 只独立工作的同型号的电子元件，其寿命 X 参数为λ=1/600 的指
数分布。试求在仪器使用的最初 200 小时内，（1）只有一个元件损坏的概率；（2）至少有一
p{Y
1}
C31 p(1
p)2

1 2
3(1 e 3 )e 3
2
（或 3（ e 3
e1 ) ）（4 分）
（2） P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C30 (1 p)3 1 e1 （4 分）
（四）（12）.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
分布，其中 未知，求（1） 的矩估计，它是否是 的无偏估计； （2） 的极大似然
估计。
解：（1） EX X ， EX 1 ( 2) 1 2
^
^
所以 1 X , X 1 ，
^
E

E(X
1)

E(X )
1
1
* n * (
1)
1
nDX
100 1
18
(10 2) 1
（七）（8）已知某厂生产的一种元件，其寿命服从均值
0
=120，方差

2 0

9
的正态分布.
现采用一种新工艺生产该种元件，并随机取 16 个元件，测得样本均值 x =123，从生产 情况看，寿命波动无变化.试判断采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有无显著变化. （ 0.05 ）
个元件损坏的概率。
解：单个元器件在 200 小时内损坏的概率
P{X

200}
F(X )
1 ex
1 200
1 e 600
1
1e 3
（2 分）
1
根据二项分布，3 个元器件在 200 小时内损坏的个数Y ~ B(3, p) （2 分）,其中 p 1 e 3
（1）
(A) D( XY ) D( X )D(Y ) (C) X 与Y 相互独立
(B) D( X Y ) D(X ) D(Y ) (D) X 与Y 不相互独立
5. 设 X1, X 2 ,, X n 是总体 X ~ N (0,1) 的样本， X , S 分别为样本的均值和样本标准差，
则有（ C ）

X 2 ... 100
X 100

1} 3
100
P(
i1
Xi
100 1) 3
100
P( i1
X i n nDX
100 1 n 3)
nDX
100 1 n
100 1
1 ( 3 ) 1 (
3 ) 1 (10 2) (10 2) 1

0.95,
(1.96)

0.975
(一)填充题（每题 4 分，共 5 题）
1.
设随机变量 X
服从区间[-1，3]上的均匀分布，随机变量 Y

0,

1
X 1
，
X 1
则 EY 1 。 2
2. 设 A，B 为两个随机事件，若 A 发生必然导致 B 发生，且 P (A)=0.6，则 P (AB) =_0.6____，
Axey dxdy

1
x2
Axey dydx