第十五章习题解答1. ()()x xS x xR ∃∧∀)1(())()()()()()()(c S b S a S c R b R a R ∨∨∧∧∧解：())()()2(x Q x P x →∀))((()()()()())()(c Q c P b Q b P a Q a P →∧→∧→解：)()()3(x xP x P x ∀∨⌝∀)(()()()())()()(c P b P a P c P b P a P ∧∧∨⌝∧⌝∧⌝解：2. 指出下列命题的真值：⎝⎛-=>=>∨→∀}6,3,2{,5:,"5:")(,"3:")(,"23:",)())(((1)D e x x R x x Q P e R x Q P x 论域其中).2.(:时不成立为当假解-x 。

论域其中，}2{,"4:")(,"3:")()()(()2(==>→∃D x x Q x x P x Q x P x解：真。

3. 在一阶逻辑中，将下列命题符号化： （1）凡有理数均可表示为分数。

解：P(x)： x 是有理数； Q （x ）:x 可表示为分数。

))()((x Q x P x →∀())())()((.:,:)(,:)(:.,)4())()((.:)(:)()3()(:)(:)()2(x S x P x W W x x S x x P x Q x P x x x Q x x P x Q x P y x x Q x x P ∧∃→→⌝∀∧∃∃明天天气好是学生是公园解有一些学生将去公园如果明天天气好是有理数是实数，解：数。

并非所有实数都是有理。

是有理数。

是实数，解：有些实数是有理数。

);()),()((,,:)()())()(()1(.,.4|))))()(|,(),(()()0,((),(:)(,:),(:.|)()(|:,),,(,0)6())).,()(()((:),(,:)(:)()5(00000x R x Q x P x x z z Q x xR x Q x P x x f x f G N n G n N x S G x b a x x S y x y x G x f x f N n N b a x x y G y Q y x P x y x y x G x x Q x x P n n 第二个是的作用域是第一个约束变元自由变元解并指出各量词的作用域变元和约束变元指出下列公式中的自由解时有使当都存在对任意给是实数是正实数，解：在大于该实数的实数。

对任意的正实数，都存∧∀∧∀→∧∀-∧∀∃→∧∀∀∈><->∈>∧∃→∀>εεεεε(2)))()(())(()((z Q x xP y Q y x P x →∀∨∃∧∀解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。

第一个的作用域为第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的作用域为 Q(y) （3）)()())()((z s y yR x Q x P x ∧∃∧↔∀ 解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。

))()((x Q x P x ↔∀的作用域为解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。

))()((x Q x P x ↔∀的作用域为 y ∃的作用域为R(y)（4）)),()((y x yH x F x ∃→∀解：无自由变元，约束为元：x ，y 。

x ∀的作用域为：))()((y x yH x F ，∃→ y ∃的作用域为：H(x,y)(5)),()(y x G x xF →∀解：自由变元:y 与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的xx ∀的作用域：F(x)(6)),()),(),((y x xH z x Q y x R y x ∃∧∧∀∀解：自由变元:Z 与H(x,y)中的y;约束变元:x,y 。

x ∀和y ∀的作用域：()),(),((z x Q y x R ∧ x ∃的作用域：),(y x H5．设谓词公式。

判定以下改名是否正确 ：x ∀)),(),((z x Q y x P ∨(1)u ∀)),(),((z x Q y u P ∨ 错误 (2))),(),((z u Q y u P u ∨∀ 正确 (3))),(),((z u Q y u P x ∨∀ 错误 (4))),(),((z x Q y x P u ∨∀ 错误 (5))),(),((z y Q y y P y ∨∀错误6.(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真7.判断下列公式的恒真性和恒假性 (1) 解：恒真 (2) 解：恒真 (3) 解：恒真 (4) 解：恒假 (5) 解：满足 8．（1）H x xG H x G x →∃⇔→∀)())((Hx xG H x xG H x G x H x G x H x G x →∃⇔∨∃⇔∨∀⇔∨∀⇔→∀)())((7)(7))(7())((（2）H x xG H x G x →∀⇔→∃)())((Hx xG H x xG H x G x H x G x H x G x →∀⇔∨∀⇔∨∃⇔∨∃⇔→∃)())((7)(7))(7())((9.（1）)()(y x xG y y x yG x ，，∀∀⇔∀∀证：设D 是论域，I 是G （x ，y ）的一个解释。

（a ）若)(y x yG x ，∀∀在 I 下的为真，则在 I 下，对任意的D y x ∈,，),(y x G 即),(y x xG y ∀∀是真命题。

若),(y x yG x ∀∀在 I 下的为假,则在 I 下,必存在,00D y D x ∈∈或使得G （x0,y ）或G （x, y0）为假，于是，此xo 或yo 亦弄假 ),(y x xG y ∀∀ （2）)()(y x xG y y x yG x ，，∃∃⇔∃∃证：设D 是论域，I 是G （x, y ）的一个解释。

（a)若)(y x yG x ，∃∃在 I 下的为真，则在 I 下,有,00D y D x ∈∈与使G（x0,y0）为真命题，于是，)(y x yG x ，∃∃也是真命题， 反之亦然。

)()()()(()()()()(:)()()2())()(()()()()(:)()()1(:.10.,)(,),(,,,)()(x G x F x x xG x F x x xG x xF x xG x xF x xG x xF x G x F x x G x x xF x xG x xF x xG x xF y x xG y y x G D y x I y x yG x b ∨⌝∃⇔∃∨⌝∃⇔∃∨⌝∀⇔∃→∀∃→∀⌝∧∀⇔⌝∀∧∀⇔⌝∃∧∀⌝∃∧∀∃∃∈∃∃解解前束范式将下列公式化成等价的反之亦然亦为假，故均为假则对任意下为假在，若(3)解：),())(),((y x xH y yG y x xF ∀→∃→∀),())()),((7(),())(),((y x xH y yG y x xF y x xH y yG y x xF ∀→∃∨∀⇔∀→∃→∀),())(),(7(),())()),(7((y x xH z G y x F z x y x xH z zG y x F x ∀→∨∃∃⇔∀→∃∨∃⇔ ),())(7),((y u uH z G y x F z x ∀∨∧∀∀⇔ )),())(),(((y u H z G y x F u z x ∨∧∀∀∀⇔(4))),()((y x yQ x P x ∃→∀解：)),()(7()),()(7()),()((y x Q x P y x y x yQ x P x y x yQ x P x ∨∃∀⇔∃∨∀⇔∃→∀ 11．给出下面公式的skolem 范式： (1))),()((7z y zQ y x xP ∀∃→∀)),(7)((),(7)(()),()((7z y Q x P z y x z y Q z y x xP z y zQ y x xP ∧∀∃∀⇔∃∀∧∀⇔∀∃→∀∴所求为: ))),((7)((z x f Q x P z x ∧∀∀(2)))))),())(,())(,(((),(7(z y E x g z zE x g y E y o x E x →∀∧∃→∀解:原式: )))),())(,())(,(((),(7(z y E x g z E x g y E z y o x E x →∧∀∃→∀⇔)))),()(,())(,(((7),(7(z y E x g z E x g y E z y o x E x ∨∧∀∃→∀⇔ )))),()(,())(),((7(),(7(z y E x g v E x g y E v u o x E x ∨∧∀∀→∀⇔)),()))(,(7()))(),((7((),(7(z y E x g v E x g u E v u o x E x ∨∨∀∀→∀⇔ )),()))(,(7()))(,(7((),((z y E x g v E x g u E o x E u x ∨∨∨∨∀∀∀⇔即为所求(3)))()((7y yP x xP ∃→∀ 解：))()(7(7))()(7(7))()((7y yP x P x y yP x xP y yP x xP ∃∨∃⇔∃∨∀⇔∃→∀))(7)(()))()(7((7y P x P y x y P x P y x ∧∀∀⇔∨∃∃⇔12．假设)(y x yM x ，∀∃是公式G 的前束范式，其中M （x, y ）是仅仅包含变量x ，y 的母式，设f 是不出现在M （x, y ）中的函数符号。

证明：G 恒真当且仅当 ))(,(x f x yM x ∀∃ 恒真。

证：设)(y x yM x G ，∀∃=恒真。

若))(,(x f x xM ∃不真，则存在一个解释I, 使得对任意的 D x ∈0（论域），))(,(00x f x M 为假。

于是，G 在I 下也为假。

此为矛盾。

反之，设))(,(x f x xM ∃恒真。

若)(y x yM x ，∀∃不是恒真，则存在一个解释I ’，使得对任意 D x i ∈，存在D y i ∈，使)(i i y x M ，为假。

由于f 是不出现在)(y x M ，中的函数符号，故可定义函数，D D f →:使得i i y x f =)(。

于是，))(,(x f x xM ∃在I ’下为假。

矛盾。

故结论成立。

13．证明))()()(())()()(())()()((x R x P x x R x Q x x Q x P x →∀⇒→∀∧→∀证明:（1）))()()((x Q x P x →∀前提引入（2）)()(y Q y P →US ，（1） （3）))()()((x R x Q x →∀前提引入（4）)()(y R y Q → US ，（3） （5）)()(y R y P →假言推理(2)(4) （6）))()()((x R x P x →∀UG ，（5）14．构造下面推理的证明前提: ))()(()),()((x H x G x x H x F x →∀∧⌝∃ 结论: ))(7)((x F x G x →∀ 证明:（1）))()((x H x F x ∧⌝∃前提引入（2)))(7)((x F x H x →∀ 等值替换（1） （3)))(7)(7(x H x F x ∨∀ 等值替换（2） （4))(7)(y F y H → US ，（3） （5))()(c E c G ∧假言推理(2)(4)（6))()(y H y G →US ，（5） )6)(4()(7)()7(假言三段论y F y G →)8())(7)(()8(规则UG x F x G x →∀15．指出下面两个推理的错误。