V a ax
X
a2 H2
X2 ax2
V1
A
a1
a
ax1
H
X1
先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系:
按次序更换
X1
—V1 H
X2
—V1 H2
点的两次变换
a
V1 V
X H
a2 a
a1
a
a2 A
a1 X1 a
四、基本作图
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
一在般平位面置内直取线一变条换投成影投面影平面垂 V 直行线线，，需经经一几次次换变面换后？变换成新投影
面的垂直线，则该平面变成新投影
面的垂直能面否。只进行一次变换？
a
d b A
思考： 若变换H面，需在面内取什么位置直
X
线？
a
正平线！
c
D B
d b H
V1 C c’1
a’1d’1
c
b’1
X1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
d
a
c
V
X
H
d
b
a
O O1
c
H
X1
a1
d1(c1)
b1
V1
X2 H2
c2
O2
b2
a2
实形
例题1：
求K点到直线AB之 距及两面投影。
距离 K
H2 k2
A T
B a2(b2) (t2)
k
t
b
a
V X
H
O1 k
a1
k1
t1
b1
V1
X2 H2
k2
距离
O a
t
b
H V1 X1 O2
a2(b2) (t2)
例题2：
a c
V X
b d
a
V X
H
d
b
a
c
a
b b
a1
提示
a2 b2 b1
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
作图：
c● a
n ●
m ●
d ●
b
M
N
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影面时，MN平行
于投影面，这时它的投影m’1n’1=MN,且 m’1n’1⊥c’1d’1。
a
a1 V
X H
H
a
求新投影的作图方法
更换V面
V X
H
a
ax
a
ax1 .
H P1 X1
更换H面
● a’1 XV H
X1 P1 H
a1
. ax1
a
ax a
作图规律：
由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替 的投影到原投影轴的距离。
⒉点的两次变换
新投影体系的建立
例题11： 求点S到平面ABC的距离
a s' s
a
b d c
b d c
k1 s1
例12：已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
d
a c
e
b
a
k
d
c
n n
例13： 求点到平面ABC的距离
b X
b
a c
k c
k
a
d O
c 1
k 1 d
b 1 d 1
X1
a 1
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
V X
H a
c
m ● ● n
请注意各点的投影如何返回 ？
求m点是难点。
d
b .
d’1 ●
a’1≡b’1≡m’1
●
. ●n’1
H V1 X1
c●’1
A
M CN
D B a1m1b1
c1 P1
n1
d1
圆半径=MN
例7：已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。 a1
b1 c1
e1 d1
b b1'
e1´
c1'
例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
a
V X
H
a
15 b2
b
e1
e
d
c
a2 e2
d2
c2
b ed
c
题10： 已知两直线AB//CD且相间距离为10 d b
c
b
a
a X
c
V X
H d
b
c
b
a
a a1 c1
a2 (b2)
b1 d1
R=10 c2((d2)
60°
回？
●b
.
●
. a’●1b’1
● c2
c
如何解？
思考：
H X1
V1
●
H2
c1 V1 X1
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。
例题9： 已知等腰 三角形ABC的底
边为AB，试用换面法求出等腰 三角形ABC的正面投影。
c'
b'
V X
H c
a
a' e
a1'
1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a X
b1 V1
O O1
B
a1
b
A
X1
aH
a V X
H
b
O
b O1
a
H
b1
X1 V1 a1
实长
2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V b a
V1
a1 (b1) O
O1
a
V X
H a
a X
b X1
H
b
b
H X1 V1
O O1
a1 (b1)
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
b a
a2 b2 B
A b
a H
b1 V1 a1
X1
3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
V X
b H2 a
a2b2
BA
X2 ax2
V1 b’1
a’1
b
a
H
X1
作图：
b
a V X H
a H1 X1 V1 a’●1
求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角。
C
B
D
A
c2 (b2)
H2
a2
d2
d a
b
XV H a
b
O1 c2 (b2) O2
d b2
c
O c
H X1 V1
c2
a2
d2
d2
a2
H2
V1 X2
例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
T
V X
H
g
B
a c
g a
c
H
X1
V1
k
d
O b
d O1
k
d1
k1
三、基本原理 1. 点的一次变换：
V
V1
H
H
a
V X
a ax
AO
a1V 1
H
a
O1
X1 ax1
V
X H
ax
O
a
O1
ax1
变换规律： 1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。
H X1 V1
a1
V a
X A a
点在V/H1体系中的投影 a1
c' a'
e'
b'
V X
d' c
H
a
e
d
b
例8: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60°），因此需将AB 与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
作图：
c ●
几个解？
a V X H
a
两个解！
d
b
●a2
D点的投影如何返
d
d2 b2● ●
A a
V c C
b a
X
实形 a1
V c1
b1
B
b H
V a
b X
b H
X1
c O
a (c) O1
c
b
a
V1
把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
b
a XV
H b
a H X1 V1 a1
c
O c
O1
A a
V c C
b a
a1
V c1
b1
B
X c1
b H
实形 b1
6.把一般位置平面变换成投影面的平行面 b