Fourier 变换积 分 变 换变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减： ,lg lg )lg(b a ab +=b a balg lg lg-=． 再取反对数变换复原． 积分变换B A T → :， dt t K t f F f T ba ⎰==) ,()()()(αα，A t f ∈)(——象原函数，B F ∈)(α——象函数，) ,(αt K ——核． 它实现了从函数类A 到函数类B 的变换．在一定条件下可逆．积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用：a ．求解线性微分方程(组)；b ．信号处理．第一章 Fourier 变 换 §1.1 Four ier 积 分设)(t f T 为周期函数且以Ｔ为周期，在 ]2T,2 [T - 满足Dirichlet 收敛条件，即：01 连续或只有有限个第一类间断点；02 只有有限个极值点．则在]2T ,2 [T - 的连续点t 处，有) sin b t cosn (a 2)(1 n n 0∑+∞=++=n T t n a t f ωω 其中 T πω2=，2T ,2==l T l ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--2222) 3, 2, 1,(n , sin )(2) 3, 2, 1, 0,(n , cos )(2T T T n T T T n tdt n t f T b tdt n t f T a ωω 利用Euler 公式，转化成复数形式： )(21cos ϕϕϕj j e e -+=，)(21sin ϕϕϕj j e e j --=， ∑+∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=1 t n j n t n j n 0e 2a e 2a 2)(n n n T jb jb a t f ωω (1) 记⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-===⎰⎰⎰⎰⎰-------22 22 22222200,)(12,)(1 sin )( cos )(12 ,)(12T Tt n j T n n n n T T tn j T T T T T T T n n n T T T dt e t f T c jb a c dt e t f T tdt n t f j tdt n t f T jb a c dt t f T a c ωωωω) 3, 2, ,1( =n ． 可合写成：Z)(n ,2n ,)(122 ∈===⎰--Tn dt e t f T c n T T tn j T n ωωωω．代入(1)得：[]∑∑+∞∞-=+∞=--=++= tj n1tj tj n 0ec eec )(n n n T n n n c c t f ωωω ——Fourier 级数的复数形式．∑⎰+∞∞-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t j 22 T e )(f 1)(n T T j T n n d e Tt f ωτωττ， (2)．设)(t f 为非周期函数，) ,(∞-∞∈t ． 作周期0>T 的函数：]2T,2T [t ),()(-∈=t f t f T ． 则(2) )(lim )( 式t f t f T T ∞+→= =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎰+∞∞-=--∞+→ t j 22 T e )(f 1 lim n T T j T n n d e T ωτωττ，即有： ),( t , )(f 21)( ∞+-∞∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰+∞∞-+∞∞--ωττπωωτd e d e t f t j j ，(3) 称为Fourier 积分公式， 它成立的条件为：Fourier 积分定理． 若)(t f 在 ) ,(∞+-∞上满足：01 )(t f 在任一有限区间上满足Dirichlet 条件； 02dt t f )(⎰+∞∞-收敛，即)(t f 绝对可积． 则在Cauchy 主值意义下，广义积分(3)在连续点t 处成立．（在间断点t 处，公式 (3)右边收敛于 )]0()0([21++-t f t f ）． 广义积分的收敛：⎰⎰⎰⎰⎰∞+→∞-→+∞∞-+∞∞-+=+=BB AA dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0)(lim)(lim)()()(； (高等数学)按Cauchy 主值意义收敛：⎰⎰-∞+→+∞∞-=AAA dt t f dt t f C )(lim)()(．例如：+∞∞-+∞∞-+∞∞---=+=⎰⎰⎰0 00 0cos cos sin sin sin t t tdt tdt tdt ， 发散；00 lim sin limsin )( ===∞+→-∞+→+∞∞-⎰⎰A AAA tdt tdt C ， 收敛．公式(3)可化为三角形式：ωττπτωd d e f t f t j ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(21)() ( )(sin )()(cos )(21偶、奇函数关于ωωττωτττωτπd d t f j d t f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-= ωττωτπd d t f )(cos )(1⎰⎰+∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωωτωτπd d t f ⎰⎰+∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅=)sin t sin cos )(cos (1(两角差公式)． 若)(t f 是奇函数，有 ωωτωττπd d f t f t sin )sin()(2)(00 ⎰⎰+∞+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， （Four ier 正弦积分公式）； (4)若)(t f 是偶函数，有 ωωτωττπd d f t f t cos )cos()(2)(00 ⎰⎰+∞+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， （Four ier 余弦积分公式）． (5)注：若)(t f 仅在 ），∞+ 0[上有定义，可采用类似于Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓方法，得到)(t f 相应的Fourier 正弦积分展开式或Fourier 余弦积分展开式．§1.2 Fourier 变换 1．Fourier 变换设)(t f 满足Fourier 积分定理条件，则在连续点处，有ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=． 记)]([)()( t f F dt et f F tj ∆+∞∞--==⎰ωω——)(t f 的Fourier 变换式．)]([F )(21)(1 ωωωπωF d eF t f tj -∆+∞∞-==⎰——)(ωF 的Fourier 逆变换式或)(t f 的积分表达式．)(t f ——象原函数 )(ωF ——象函数t j e t K ) ,(ωω-=——Fourier 变换核A B )()(ωF t f F−→← 称为Fourier 变换对当)(t f 为奇函数时，由(4) 式，称⎰+∞==0tdt f(t)sin )]([)(ωωt f F F s s 为)(t f 的Fourier 正弦变换式； 称⎰+∞-==0s 1 td )sin (F 2)]([)(ωωωπωs sF F t f 为)(ωF 的Fourier 正弦逆变换式．当)(t f 为偶函数时，由(5) 式，称⎰+∞==0tdt f(t)cos )]([)(ωωt f F F c c 为)(t f 的Fourier 余弦变换式； 称⎰+∞-==0c 1 tdt )cos (F 2)]([)(ωωπωc cF F t f 为)(ωF 的Fourier 余弦逆变换式．例1．求 ⎩⎨⎧≥<≤=1 t ,0 1t 0,1)(t f 的Fourier 正弦变换和余弦变换．解：先将)(t f 进行奇延拓，得)(t f 的Fourier 正弦变换为⎰⎰-====+∞1cos 1 sin tdt f(t)sin )]([)(ωωωωωtdt t f F F s s ， ) ,(∞+-∞∈ω；再将)(t f 进行偶延拓，得)(t f 的Fourier 余弦变换为⎰⎰====+∞1sin cos tdt f(t)cos )]([)(ωωωωωtdt t f F F c c ， ) ,(∞+-∞∈ω．例2．求指数衰减函数0)( 0t ,0 t ,0 )( >⎩⎨⎧≥<=-ββt e t f 的Fourier 变换及积分表达式．解：⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-∞--+===t)j (0 e0 )()]([)(dt dt dt et f t f F F tj ωβωω∞+==--⋅+-=t 01t tj t e e j ωβωβ221ωβωβωβ+-=+=j j ． ⎰⎰⎰∞++∞∞-+∞∞--++=⋅+-=== 022 22 1sin cos 121 )(21)]([)(ωωβωωωβπωωβωβπωωπωωωd tt d e j d eF F F t f t j tj ．由Fourier 积分定理得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==++-<=++⎰∞+0 t ,e 0 t ,2)]00()00([20t ,0sin t cos t0 22βπππωωβωωωβ－f f d t ． 例3．求 1t ,01t ,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤=A t f 的Fourier 变换． 解：)(0 0 )()(1 t 1 t t 111t1 ωωωωωωωωj j j j tj e e j A e j A dt dt Aedt dt et f F -=-=-+∞--+∞∞--∞---=-=++==⎰⎰⎰⎰　) ,( ,sin 2∞+-∞∈=ωωωA ．2．单位脉冲函数及Fourier 变换在物理、力学、电工学中，常遇到单位脉冲函数．这类函数与具有脉冲性质的现象有关．如在电流为０的电路中，0=t 瞬时进入一单位电量脉冲，电量函数为 ⎩⎨⎧=≠=0 t ,10t ,0)(t q ．电流)()(t q t i '=． 当 t = 0， ∞=-=--=→→t 1lim 0t q(0)q(t)lim )0(00t t i 不存在． 称电流函数)(t i 为Dirac 函数或 -δ函数，记⎩⎨⎧=∞≠==∆0 t ,0t ,0)()(t i t δ （物理定义或形式定义）．)t)(t δ的数学定义：用 ) ,(∞+-∞∞C ) ,(∞+-∞表示定义于 上的无穷次连续可微函数的全体，作 0)(,0 ][0, t ,1)(>⎪⎩⎪⎨⎧∈=εεεδε其它t ． )(t δ 是一个广义函数，)(t δ*)] ,([∞+-∞∈∞C (共轭空间)， 它是{}0 >　εεδ 的 *W 极限：)( lim W )(0t t εεδδ+→*，即⎰⎰+∞∞-+∞∞-+→=dt t f t dt t f t )()( lim )()( 0εεδδ⎰⋅=-+→εεε0 10)( lim dt t f)0()( lim 1 0f f =⋅=-+→θεεεε0 )(==t t f ， ) ) ,(f(t) ,10 (∞+-∞∈∀≤≤∞C θ． (a)一般地，0t00 00 t x t 00)()()()()( t t x )()(=+∞∞-=+∞∞-+===+=+-=-⎰⎰t x t f t f t x f dx t x f x dt t f t t δδ，(为常数 0t )． (b))(t δ在(a) 中，取⎰+∞∞-==1(t)dt ,1)(δ则t f ．又称)(t δ 为单位脉冲函数．图形： 1)(t δ的Fourier 变换： 0 t⎰+∞∞-=--====1)()]([)(0tt t j j e dt e t t F F ωωδδω，0 0t t tt 00 )()]([ωωωδδj t j j e e dt e t t t t F -+∞∞-=--⎰==-=-，即1)(−→←F t δ， 0t 0 )(ωδj Fe t t -−→←-．在实际中，有些函数非绝对可积，如常数、符号函数、单位跳跃函数、正弦函数、余弦函数等，它们的广义Fourier 变换存在．根据 )()(ωF t f ↔，可通过广义Fourier 逆变换来推导某些函数的广义Fourier 变换．例1．证明：单位跳跃函数 ⎩⎨⎧<>=0t ,00 t ,1)(t u 的Fourier 变换为 )(1)(ωπδωω+=j F ． 证： ωωπδωπωωd e j F F t f j t 1)](1[21)]([)(⎰+∞∞--+== ωωωωωπωωδωd j t j d e j t sin cos 1 21 )(21 t⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=u(t) 0t 0t ,02121xsinx 121 ,12121x sinx 121 t x t sin 1210 0 0 x / t =⎪⎭⎪⎬⎫<>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰∞+∞-∞+=ππππππωωωωπωdx dx d ∴)(1)()]([ωπδωω+==j F t u F ． Dirichlet 积分： ⎰+∞=02x sinx πdx ． 同理可得： (a) 令),(2)(ωπδω=F 则1)(221)]([)( t1=⋅==⎰+∞∞--ωωπδπωωd e F F t f j ， 即 )(21ωπδ−→←F，且 ⎰+∞∞--==)(2]1[ t ωπδωdt e F j ．(b) 令 ),(2)(0ωωπδω-=F 则 t tt 0 00)(221)(ωωωωωωωωπδπj j j e e d e t f ==⋅-==+∞∞-⎰，即)(20 0ωωπδω-−→←Ftj e， 且⎰+∞∞----=)(20 t) (0ωωπδωωdt ej ．例2．求 ) ( cos )(00为常数ωωt t f = 的Fourier 变换． 解：⎰⎰+∞∞-∞+∞----+=⋅= t 0)(21 cos )(0 0 dt e e e dt et F j t j t j tj ωωωωωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞+∞-∞+∞-+--- )( )(00 21dt e dt e t j tj ωωωω) ,( )],()([)](2)(2[210000∞+-∞∈++-=++-=ωωωδωωδπωωπδωωπδ． 同理，][sin 0t F ω⎰∞+∞----= t )(2j1 0 0 dt e e e j t j t j ωωω)]()([ 00ωωδωωδπ--+=j ．3．函数的频谱（Fourier 变换的物理意义）频谱理论在无线电技术、声学、振动学中有重要应用，它与Fourier 变换有密切关系． (A) 若)(t f 是周期为T 的函数，可展开成∑∑∑+∞=+∞-∞=∆+∞==++=++=1 010 )sin(2)sin cos (2)(n n tj n n n n n n n n n n e c t A a t b t a a t f ωϕωωω，（其中 ⎰===-=+=-T 0 n j n 222 ,e f(t)12c ,n Tn n dt T jb a b a A tn n nnn πωωω）． 其第n 次谐波)sin(n n n t A ϕω+， 振幅 n n n n c b a A 222=+=，) 3, 2, 1, ,0( =n ．称n A 为)(t f 的（振幅）频谱，图形 n A ω－是频谱图． 这是离散频谱图．例如：周期T 的矩形脉冲函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=2 2 ,0 2t ,)(T t E t f ττ， E2T-2τ- 0 2τ 2T⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⎰⎰⎰⎰------,2sin 1 )(1,1)(12 2 t 22 2 2 220πτπτττωωττn n E dt e E T dt e t f T c T E Edt T dt t f T c jn T T t jn n T T ) 3, 2, 1,( ±±±=n ． Fourier 级数：tjn n n e T n n E T E t f 0 , sin)(ωπτπτ∑+∞≠-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 频 谱：TE c A τ2200==，N)(n ,sin 22∈==T n n E c A n n πτπ． 当τ4=T 时，20E A =， 2n ,4sin 2n τπωππ==n n E A n ． A 频谱图：2E．．． ． ． ． ． ． ω)(t fτπ2τπ22τπ23τπ24τπ25τπ26τπ27τπ28τπ29τπ210(Ｂ) )(t f 是非周期函数，满足Fourier 积分定理的条件，则有Fourier 变换⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω，⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(．在频谱分析中，称 )(ωF 为)(t f 的频谱函数，模)(ωF 称为)(t f 的（振幅）频谱．其图形称为频谱图．这是连续频谱图．频谱)(ωF 是偶函数：⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω＝⎰+∞∞-tdt t f cos )(ω⎰+∞∞--dt t f j t sin )(ω，∴2122 sin )( cos )()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞-∞+∞-tdt t f tdt t f F ωωω 为偶函数． 例1．作单个矩形脉冲函数的频谱图． 解：频谱函数 ⎰+∞∞--=dt et f F tj )()(ωω2sin2e 22tj ωτωττωEdt E ==⎰--频谱 2sin12)(ωτωωEF =， ) ,(∞+-∞∈ω． 2τ-2τtωτπ6-τπ4-τπ2- 0τπ2τπ4τπ6例2．作单位脉冲函数)(t δ的频谱图．解：频谱函数：1 )()( ==⎰+∞∞--dt e t F t j ωδω， 频谱： 1)(=ωF ， ) ,(∞+-∞∈ω．频谱图：§1.3 Fourier 变换的性质假设以下需求Fourier 变换的函数均满足Fourier 积分定理的条件．1．线性性质αβα=+)]( )( [21t f t f F )]([1t f F +β)]([2t f F ， （象原函数）；1-F αωβωα=+)]( )( [21F F )(1t f +β)(2t f ， （象函数）； ) 2 1,i )],([)(F ,(i ==t f F i ωβα为常数，．2．位移性质)]([)]([0 0t f F e t t f F t j ⋅=±±ω，（象原函数）；1-F )]( [0ωω F t j e t f 0)(ω±⋅=，（象函数）； ) ,(00为复常数ωt ．证：du e t t u dt e t t f t t f F t u j t u t tj ) ( 0 0000f(u) )()]([ ωω-+∞∞=-+∞∞-⋅±=⋅±=±⎰⎰－⎰+∞∞--±⋅=du e u f eu j t j )(0ωω)]([0 t f F e t j ⋅=±ω；1-F )]( [0ωω F tj et f 0)(ω±⋅=．例1．求 ⎩⎨⎧<≥=00t t ,0t t ,1)(t f 的频谱函数)]([t f F ．解：)(j 1F[u(t)] ),()(0ωπδω+=-=t t u t f ， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==-=--)(j 1eF[u(t)])]([)(0t j 0ωπδωωωωt j et t u F F ． 3．微分性质 若0f(t) lim =+∞→t ，则 )]([ )]([t f F j t f F ω='， （象原函数）； )]([)(t f jt F F ⋅-='ω， （象函数）．证：)]([)() ()()()()]([ t t f F j dt e t f j et f t df edt et f t f F t j t t j tj tj ωωωωωω=⋅--==⋅'='⎰⎰⎰+∞∞--+∞=-∞=-+∞∞--+∞∞--；[]⎰⎰+∞∞--+∞∞--⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡='dt e t f jt dt e t f d d F j j t t )()()()(ωωωω)]([t f jt F ⋅-=． 推论：若 0(t)f lim (k )=∞+→t ， )1n , 2, 1, ,0(-= k ， 则 )]([ )()]([)(t f F j t f F n n ω=，（象原函数）； )]()[()()(t f jt F F nn ⋅-=ω，（象函数）．（利用数学加纳法可证之）． 例⎰⎰+∞∞-±±=+∞∞-⋅=⋅=due u F u d eF t u j j ) ( u 0 t000)(21)(21ωωωωπωωωωωπ1．)( 2])(2[]1[]1[][ωδπωπδω'='==⋅-=j j F d dj jt jF t F ； ) 1)( (=t f 取 )( 2])(2[]1[]1)[(][22222ωδπωπδω''-=''-=-=⋅-=F d d jt F j t F ． 广义导数)(t δ'的含义：)0()()()()()()()()(f dt t f t t t f t d t f dt t t f '-='-=='⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδδ；同理，) ,(C f(t) ),0()1()()()()(∞+-∞∈∀-=∞+∞∞-⎰n n n f dt t t f δ．4. 积分性质 若0(t)dt f =⎰+∞∞-， 则)]([ 1)( t f F j dx x f F t ω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰∞-． 证：记 dx x f t g t)()( ⎰∞-∆=， 则0)g( ),()(=-∞='t f t g ，0)()(==+∞⎰+∞∞-dx x f g ， 由一阶微分性质得 F[g(t)] j )]([)]([ω='=t g F t f F ， F[f(t)]j 1)]([ω=t g F ． 5．乘积定理 记21,i )],([)(==t f F F i i ω，则ωωωπωωωπd F F d F F dt t f t f )()(21)()( 21)()(212121⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-．证：ωωπωωπωωd dt e t f F dt d eF t f dt t f t f j j )()(21)(21)()()( t 12 t2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωωπd F F )()(2112⋅=⎰+∞∞-．6．能量积分记)]([)(t f F F =ω， 则 ωωπd F dt t f 22)(21)]([⎰⎰+∞∞-+∞∞-= ——Parseval 等式．证：在乘积定理中，取 )()()(21t f t f t f ==，可得．38P 习题三．2． 对称性质： 若)]([)(t f F F =ω， 证明：⎰+∞∞--±==±)f( 2t)]F[F( ,)(21)( t ωππωω 即dt e t F f j ．证：⎰⎰+∞∞-+∞∞--=±==±sd e s F dt et F f j j s st t)(21t s )(21)(ωωππω⎰+∞∞--==右边dt e t F j t )(21ωπ．3．相似性质： 若)]([)(t f F F =ω，0≠a ， 证明：)F( 1t)]F[f(aa a ω=． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⋅>⋅==⎰⎰⎰∞-∞+-∞+∞--∞+∞--0a ,)(a10a ,)(a1 at s )(t)]F[f( t ds e s f ds e s f dt e at f a a js ajs j ωωω证： ⎰+∞∞--=ds es f ajs a)(1ω)F( 1aaω=．§1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数是频谱分析中的重要概念，是分析线性系统的有用工具． 1. 卷积(1) 卷积概念点积：)()()()(2121t f t f t f t f ⨯=⋅ （点点相乘）．卷积：) ,( t ,)()(f ))(()()(212121∞+-∞∈-=*=*⎰+∞∞-∆τττd t f t f f t f t f ． (这里)()(21t f t f 、 绝对可积，右端广义积分收敛) 性质：(a) 交换律：)()()()(1221t f t f t f t f *=*；(b) 分配律：)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+*； (c) 结合律：)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=**． 证：(a))()()(f t x )()(f )()( 21 xt 2121dx x f x t d t f t f t f ---=-=*⎰⎰∞-∞+-=+∞∞-τττττdx x t x f ⎰+∞∞--=)(f )( 12)()(12t f t f *=．(b)、(c) 略．例1．设 ⎩⎨⎧≥<=0 t ,10 t ,0)(1t f ， ⎩⎨⎧≥<=-0 t ,0 t ,0 )( 2t e t f ， 求 )()(21t f t f *．解：) ,( t ,)()(f )()(2121∞+-∞∈-=*⎰+∞∞-τττd t f t f t f ．要使被积函数不为0，必须t t ≤≤⎩⎨⎧≥-≥τττ0 ,0即． 故t ,1)(e d e 10 t 0,0d )()( 00 0 )(t 21⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-==⋅<==*⎰⎰⎰-----+∞∞-t t t t t t e e e e d e t f t f τττττ．例2．50P 习题四．1(8)．证明：)()()(00t t f t t t f -=-*δ． 证明：)()()()()()()()(0 t 0000t t f t f d t f t t f t t t t t f -=-=--=*-=-*=+∞∞-⎰τττττδδδ． 2．若)()( ,sin )()( ,)()(212 1t f t f t t u t f e t u t f t a *==-求．解：) ,( t ,)()()()( 2121∞+-∞∈-*=*⎰∞+∞-τττd t f f t f t f ． t 0 0≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥τττt ． 当 0<t ，00)()()()( 2121==-=*⎰⎰∞+∞-∞+∞-ττττd d t f f t f t f ；当≥t ，⎰⎰⎰⎰---+∞--∞--=+⋅+=*tj j t a tt a d e e e j d d ed t f t f 0t 0)( )(012 ][210 sin 0)()(τττττττττ1 cos sin e e 2e e2 2a 0) j (a 0) j (a t0 t 0 ) j (a ) j (a ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--+--+-⎰⎰a e t t a j a j a j e d d j e t tt ta ta ττττττ．(2) 卷积定理（5．卷积性质）设)()(21t f t f 、满足Fourier 积分定理条件，2) 1,i ( )()]([==ωi i F t f F ， 则 )()(F )]()([2121ωωF t f t f F ⋅=*， 即 )()()]()(F [F 21211t f t f F *=⋅-ωω． 证：dt e d t f f dt et f t f t f t f F j j t 21 t2121)()()]()([)]()([ωωτττ-+∞∞-+∞∞-+∞∞--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*=*⎰⎰⎰ττττωτωd dt e t f ef t j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=⎰⎰+∞∞---+∞∞--)( 2 1)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞--+∞∞--+=dx e x f d e f x j j 2 1 x t )( )( t x ωτωττττ)()(F 21ωωF ⋅=．6．乘积性质设)n , 2, 1,i ( ,)]([ )( ==∆t f F F i i ω 存在， 则)(F )()(F 21)](f )()([n 211n n 21ωωωπ***⎪⎭⎫⎝⎛=⋅⋅⋅- F t t f t f F ．小结： Fourier 变换的七条常用性质：线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、卷积性质、乘积性质、相似性质． 例3．求变换．的及Fourier tu(t) e ),( t j 00ωδt t -解：由位移性质，00 t t 0)]([)]([ωωδδj j e t F e t tF --=⋅=-．由于)(2]1[ωπδ=F ，由象函数的位移性质有)(2)(2]1e []F[e 0 t j t j 00 0 ωωπδωπδωωωωω-==⋅=-=F ．由于)(1)]([ωπδω+=j t u F ， 由一阶微分性质有 '⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅-=)(1)]([)]([)]( [ωπδωωj j t u F d d j t u jt jF t u t F )( 12ωδπω'+-=j ．。