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由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
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6
奥运会场馆
鸟巢
空间立体网架
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2-1 引 言
工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。
弹簧系统力F与弹簧伸长量 （位移）之间关
系由胡克定律有
FF12
k11 k21
k12 k22
kk1233uu12
F3 k31 k32 k33u3
利用线弹性系统的叠加原理，找出3×3阶刚度矩阵各元素 的表达式
节点1处的合力 节点2处的合力
节点3处的合力
F1kau1 F2kau1 F30
kau2 kau2kbu2 kbu2
0 kbu3 kbu3
ka
Kka
0
刚度应采用一个矩阵来表示，即 K ，同理，各点的位移也应采用一个
矩阵来表示，即 ，再加上矩阵 F ，就构成了
FK K 称为对应于施加存系统上各节点力的刚度矩阵。
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问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？
系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
ka ka kb
kb
0 kb kb
对成、奇异矩阵
（2－8）
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用同样的方法可以求解具有更多个弹簧 的串连系统，推导过程乏味。
知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加 出多个串联系统的总刚度矩阵。
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知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：
F1c
ka F2c kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F 3 c k b u 3 ,F 2 c F 3 c k b u 3
u1＝0
u2＝0
由于节点1、2无位移，有
(c)
可编辑pptF1c 0
13
组合弹簧的刚度矩阵
4) 合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个 方向的位移。因此方程式应用如下形式：
的结构，如图（c），叠加结果为：
A A‘
(c) B B‘
作用于节点1上的合力 作用于节点2上的合力
F1 F1a F1b F2 F2a F2b
刚度矩阵
F1 F2
k k
k k
uu12
（2－5）
Ke
k k
k k （2－6）
对成、可奇编异辑矩pp阵t
12
二、组合弹簧的刚度矩阵
u1,F1
u u
1 2
F3 0
0 0 u 3
F1 F2
F3
0
0
0
0 kb kb
0 k kb
b
u u u
1 2 3
矩阵扩大办法
单元数量增多时，相应扩大后的矩阵 就相当大，扩大后的非零元素在矩阵 的什么位置，概念上就不很清楚了。
按矩阵相加原理将两式叠加，
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1)只有节点1可以变形,点2固定
F1a ku1
由力的平衡有
F1a
u1
k
F2a
F1a F2a 0 F2a F1a ku1
2)只有节点2可以变形,点1固定
F 2bk2 uF 1b
A A‘ (a)
F1b
k
u2=0
u2
F2b
u1=0 F1 u1
B B‘
(b)
k
u2 F2
3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1) 2)两种情况，就得到与原始问题一样
F3a 0
2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与
弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧 2-3 有压力kbu2
F 2bkakbu2
分别对两弹簧求静力平衡，有 F 1 b kau 2,F 3 b kb u 2
u2,F2
ka
kb
u3,F3
u1,F1a F1b
1
2
3
ka
F2a kb
F3a
u2＝0
(a)
3
u3＝0
ka u2,F2b kb
F3b
u1＝0
u3＝0
(b)
1) 只允许节点1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系
F1a kau1 考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有
F 2aF 1akau1 由于u1＝ u2＝0，没有力作用于节点3，因此，
有限元理论与应用
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1
第一篇 有限元法
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Hale Waihona Puke 2第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
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3
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
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4
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
F F 1 2 k k a a k k a a u u 1 2 F F 3 2 k k b b k k b b u u 3 2
整个系统有3个节点（位移），将上述方程扩大成3阶方程，
F1 F2
ka
k
a
ka ka
0 0
Fk (4—1)
式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于
力－位移图中F- 关系直线的斜率。
当k和力F已知时，可由下式求出弹簧伸长量
1F
k
弹簧力－位移间关系
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8
当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力P的作用下，节点B、 C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可 假设整个杆件系统也具有像式(4—1)中k值一样的刚度，这样在力P的作 用下各点的位移就可以用类似式(4—1)的公式计算了，不过．这时的系统
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10
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
u1,F1
k
u2,F2
弹簧的作用力向量为
F F
1 2
位移向量为
u u
1 2
FF12kk1211 kk1222uu12
从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。
为求出它们，将图2—4所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。