（4）中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
Oz
y
t,max

Myt,max Iz

Iz
M / yt,max
M Wzt
c,max

Myc,max Iz

Iz
M / yc,max

M Wzc
(5) 型钢截面：参见型钢表
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。
O z
dA dA
y
z y
1 M
EI z E y

My
Iz
max

My m a x Iz
M

Iz ymax

M Wz
称为弯曲截面系数
b
⑴ 矩形截面
h
Iz

bh3 12
Wz

Iz h/2

bh2 6
z
y
b3h I y 12
Wy

Iy b/2

b2h 6
65586104
21 560
148 MPa
a
166
12.5
21 560
z
max 160 MPa
a
166
560 21
a

ya ymax

max


2 560
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max
对于等直梁： M max
d
⑵ 圆形截面
z y
πd 4 I z I y 64
Wz
Wy

Iz d /2

Iy d /2

πd 3 32
D d
⑶ 空心圆截面
O y
I z
Iy
π 64
D4 d4
πD 4 1 4
z
64
d/D
Wz

Iz D/2

πD 3 32
1 4
Wy
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
Fb/4
M
m
ax

Fb 4
M
m
ax

Fb 2
发生在截面C 发生在截面B
Fb/2
120
180 40 134 86
Fb/4
C 形心 z
考虑截面B ：
20 y 20
t,max

M B y2 Iz

F / 2 2103 86 5493103
30 MPa
F 19.2 kN
c,max
Wz
对于拉压强度不同的等直梁：

t,max
M max yt,max Iz
[
t]

c,max
M max yc,max Iz
[
c]
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对
中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉
应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试
求梁的许可荷载[F ] 。
120
180 40 134 86
F
q=F/b
A
b C bB
b
D
C 形心 z
FA
FB
解：1、梁的支反力为
F FA 4
20 y 20
7 FB 4 F
据此作出梁的弯矩图如下
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
Fb/2
180 40 134 86
120 C
形心 z 20 y 20
mn aa bb mn
平面假设
mn aa
bb mn
梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且 与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于 纵对称轴的某一轴转动。
mn aa bb mn
纵向线与横向线垂直 →无剪应变 → = 0；
正应力沿横截面宽度方向均匀分布。
受压区
中性层 受拉区
中性轴 受拉区
}
C

O1 dx O2
§4-4 梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件
纵对称面
对称轴
F1
F2 B
梁变形后轴线
所在平面与外力所
在平面相重合,称为
FB 平面弯曲。
A FA
梁变形后的轴线与外 力在同一平面内
纯弯曲
FS 0 M 常量
F
FF
F Fa
x
M
x
横力弯曲
FS 0 M M (x)
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力

M B y1 Iz

F
/ 2 2103 134 5493104

90 MPa
F 73.8 kN
Fb/2
120
180 40 134 86
Fb/4
C 形心 z
考虑截面C：
20 y 20
t,max

MC y1 Iz

F
/
4 2103 134 5493104

30
MPa
F 24.6 kN
M
解：1、作弯矩图
Fl M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
I z 65586 cm4 Wz 2342 cm3
3、求正应力
max

M max Wz

375106 2342103
160 MPa
12.5 z
a

M maxya Iz

375106 560 21 2
mn aa
bb mn
y
E E y
——中性层的曲率半径
O
dA dA
z y
y
E y
FN

dA0
A
z
E

A
y
d
A

0
Sz 0 中性轴 z是形心轴。
M z

y
A
d
A
E

y2 d A EI z
A

1 Mz
EI z
弯曲刚度
纯弯量的中性轴是一根圆曲线。
平面假设和纵向线之间无挤压的假设 实际上都不再成立。
将纯弯曲理论推广到横力弯曲
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。
试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
12.5
F
A
FA
5m
C
10m
B
z
FB
a
166
375 kN.m 21 560