1.李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款,(1)在每年10%的单利下,求1994年1月1日的存款额。
(2)在年利率8%的复利下,求1994年5月1日的存款额。
解:(1)5000×(1+4×10%)=7000(元)(2)5000×(1+10%)4.33=7556.8(元)2.把5000元存入银行,前5年的银行利率为8%,后5年年利率为11%,求10年末的存款累计额。
解:5000(1+8%)5×(1+11%)5=12385(元)3.李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。
(1)求在复利11%下1990年1月1日的现值。
(2)在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。
解:(1)10000×(1+11%)-4=5934.51(元)(2)10000×(1-11%)4=6274.22(元)4.假设1000元在半年后成为1200元,求⑴ )2(i ,⑵ i, ⑶ )3(d 。
解:⑴ 1200)21(1000)2(=+⨯i ;所以4.0)2(==i ⑵2)2()21(1i i +=+;所以44.0=i ⑶n n m m nd d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()(1)(;所以, 13)3()1()31(-+=-i d ;34335.0)3(=d5.当1>n 时,证明:i idd n n <<<<)()(δ。
证明:①)(n d d <因为,+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(32)(2)(10)()()(1)1(1nd C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n)(1n d->所以得到,)(n d d <;②δ<)(n d)1()(mn em d δ--=;mm C m C m C m ennnmδδδδδδ->-⋅+⋅-⋅+-=-1)()()(1443322所以,δδ=--<)]1(1[)(mm dn③)(n i <δi n i n n +=+1]1[)(, 即,δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i ni n n所以,)1()(-⋅=n n e n i δm m C m C m C m e nnnnδδδδδδ+>+⋅+⋅+⋅++=1)()()(1443322δδ=-+>]1)1[()(nn in④i in <)(i ni nn +=+1]1[)(,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+所以,i in <)(6.证明下列等式成立,并进行直观解释:⑴nmm n m a v a a +=+;解:iv a nm nm ++-=1,i v a m m-=1,iv v i v v a v nm m n m nm +-=-=1所以,n m nm m m nmm a ivv v a v a ++=-+-=+1⑵nmm n m s v a a -=-;解:iva nm nm ---=1,iv a mm-=1,iv v s v n m m n m--=-所以,nm nm mmn mma ivv v s v a --=-+-=-1⑶nmm n m a i s s )1(++=+;解:i i smm1)1(-+=,ii i i i i s i m n m n mnm )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++所以,n m mn m m n mms ii i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(⑷nmm n m a i s s )1(+-=-。
解:(同上题)略。
7.某人今年30岁, 其计划每年初存300元,共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取20年。
假设存款利率在前十年为6%,后20年为12%,求每年能取的养老金额。
解:210220211012020210301)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s -+++⋅-+=++⋅=所以60岁时存款有5.5975930030=⋅s (元)由此知,2020s a X =⋅,可得X=7774.12(元)8.某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。
从存入最后一笔款后的第2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。
假设存款的利率为8%,求每次能够提取的最大金额。
解:82.2288095000120=⋅=⋅=⋅∞s iX A X 。
所以79.18304=X (元)9.证明:⑴nn n a s a ia ⨯==1δ;证明:nnnn a ii i v va ⋅=⋅-=-=δδδ11δδi i s =-+=1)1(1,所以n n a s a ⨯=1⑵δδn n ea --=1; δδδδδδn nnnn ee i va ----=-=+-=-=1)(1)1(11⑶δδ1-=n n es 。
证明:δδδδδ11)(1)1(-=-=-+=n nnn ee i s10.假设每年第一年收付200元,以后每隔一年增加收付100元,增加到一次收付1000元时不在增加,并一直保持每年1000元的水平连续收付。
假设年利率为12%,求这一年金的现值。
解:94.436211000)1(8100)1(1001000)(100100988191=⋅⋅++-++=++=--∞v iii ai a Ia a a1.依据生命表的基础填充下表:xx lx dx px q0 1000 100 0.9 0.1 1 900 150 5/6 1/6 2 750 150 0.8 0.2 3 600 300 0.5 0.5 4 300 180 0.4 0.6 5 120 120 0 1 63.已知)1201(1000xl x -=,计算: ⑴0l,120l ,33d ,3020p ,2030q ;⑵25岁的人至少再活20,最多活25年的概率; ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。
解:⑴1000)1201(10000=-=l ;0)1201201(1000120=-=l 32512011000343333=⋅=-=l l d9730503020==l l p ;3.02050202030=-=l l l q ⑵19125504525520=-=l l l q⑶074646449.0)198()(3325802555===l l p4.若)(100000xc x c l x+-=,4400035=l ,求:⑴c 的值;⑵生命表中的最大年龄;⑶从出生存活到50岁的概率;⑷15岁的人在40~50岁之间死亡的概率。
解:⑴44000)3535(10000035=+-=c c l。
所以,c=90⑵0)9090(100000=+-=xxl x,所以,90=ω ⑶134050050==l l p ⑷32155040151052=-=l l l q 。
5.证明并作直观解释: ⑴xm n x n x mn p p q +-=;证明:x m n x n xmn x x n x x m n x n x xm n p p l l l l l l l q +++++++-=-=-=⑵n x x n x nq p q +⨯=;证明:n x x n nx n x x n x x n x x n x n x x nq p l l l l l l l l l q +++++++++⨯=⋅-=-=11⑶nx m x n x mn p p p ++⨯=。
证明:n x m x n nx mn x x n x x m n x x m n p p l l l l l l p ++++++++⨯=⋅== 6.证明:⑴⎰-++=xx t x t x l dt l ωμ0;⑵⎰-+=xt x x tdt p ωμ01;⑶)(t x x x t x t p p x+-⨯=∂∂μμ;⑷t x x t x t p p t+⨯=-∂∂μ。
证明:⑴x xx x x x t x t x l l l l l dt l =-=-=⎰--++++ωωωμ0⑵⎰⎰⎰--+-+-++++=-⋅-=⋅-=-=xx x x xxtx x xt x t x x t x t x x tl l l dl l dl l l l dt p ωωωωμ01)(1111;⑶)()()()(2t x x x t xx t x t x x t x x t x x t x x t x x x t x x tx x t p l Dl l Dl l l l Dl l Dl l l Dl l Dl l l x p x +++++++++-⨯=-=-=⋅-⋅=∂∂=∂∂μμ⑷t x x t tx t x x t x x t x x tx x t p l Dl l l l Dl l l x p t ++++++⨯=-⋅==∂∂==∂∂μ)(。
7.分别在死亡均匀分布,死亡力恒定和鲍德希假设下,用课本附表1给出的生命表计算:⑴2541q ;⑵40215q ;⑶3150μ。
解:⑴00030575.015.9565049802.1164112525252541=⋅=⋅=⋅=-=l d q t p q x t 略。
8.若774640=l ,768141=l ,计算4140μ:⑴死亡均匀分布假设;⑵鲍德希假设;⑶假设x l x-=1001000。
解:⑴008409068.0140404140=⋅-=q t qμ; ⑵008426834.0,140414140=∴=====-⋅-μμμμμe l l p t e p xtx t 可令⑶008444573.0)1(14140=--=xxq t q μ。
9.证明在鲍德希规律下,x n q 与n 无关。
证明:xx s n x s n x s q xx s x n-=++-+=-=ωω1)()1()(1)(所以,xn q与n 无关。
1. 某人10岁买了定期生存保险,这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金,以附表2转换函数值计算这一年金现值。
解:5.45522775.0200020002000101881018101088=⋅=-=⋅+++++N N N a (元) 2.证明下列等式成立,并解释其含义。
⑴1+=x x x avp a ;证明:111++=-=-==x x x xxx x x x a vp aD D N D N a ⑵11++=x x x a vp a; 证明:11+=-x x x a vp a所以,11++=x x x a vp a⑶)1(::x n nx n x E a a -+= ; 证明:n x xnx x xn X n x x x x n X x n x x x n nx aD N N D D N D N D D D N NE a :1111:)()1()1( =-=+-+=-+-=-++++++++++⑷n x x n nx na p v a +⋅⋅=;证明:n x x n nn x n x x n n xn x n x x n x n x xn a p v D N p v E D N E D N a ++++++++⋅⋅=⋅⋅=⋅==111 ⑸nm x x m mm x m n x a p v a a :::++⋅⋅+=;证明:mn x xn m x x x n m x m x x m x x n m x x m m m x xn m x m x m x n m x m x x m nm x x m mxm x x mx xm n x x m n x a D N N D N N D N N a p v a D N N D N N E a p v D N N a D N N a ++++++++++++++++++++++++++++++++++=-=-+-=⋅⋅+∴-=-⋅=⋅⋅-=-=:111111::1111:11:11:⑹11)1(--+=⋅x x x a i ap证明:1111111111)1(---------+=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅x x x xx x x x x x x x x x a i D p v N p D E N p D N p a p 3.某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。