-11.2705
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049
12.62
15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
0.1017
0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566
1.6
23.8
0.4700
0.2209 566.44
4.1078 2671.63
54 50 45 37 35 25 20 16 18 13
4.双曲形式关系
6.多项式形式关系
(一) 指数关系曲线
ˆ ae y
两种形式：
y
bx
ˆ ab y
x
a >0,b>0
a >0,b<0
0
x
当a>0，b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凹向上； 当a>0，b<0时，Y随x的↑而↓，曲线也是凹向上。
(二) 对数关系曲线
方程为:
y
ˆ y a b ln x
(五) S型曲线 • S型曲线由于其曲线形状与动、植物的生长过程的 基本特点类似，故又称生长曲线，曲线一开始时 增长较慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达 到一定的限度后增长又缓慢下来，曲线呈拉长 的”S”，故称S曲线 • 最著名的曲线是Logistic生长曲线，它最早由比利 时数学家 P.F.Vehulst 于 1838 年导出，但直至 20 世 纪 20 年代才被生物学家及统计学家 R.Pearl 和 L.J. Reed 重新发现，并逐渐被人们所发现。目前它已 广泛应用于多领域的模拟研究。
解决办法
曲线直线化估计(Curve estimation) 非 线 性 / 曲 线 回 归 (Nonlinear/curvilinear regression)
二、曲线直线化
拟合曲线回归方程的步骤： 1. 根据变数 X与Y之间的确切关系，选择适当的曲 线类型。 2. 对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法 原理配置直线回归方程。 3. 将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程， 并对有关统计参数作出推断。 4. 比较决定系数选取“最佳”曲线方程
(四) 双曲关系曲线
x ˆ y a bx
a bx ˆ y x 1 ˆ y
a>0,b<0
a>0,b>0
0
x
0
a b
x
当a>0，b>0时，Y随x的↑而↑，速率趋小，曲线凸向上，并 向y=1/b渐进； 当a>0，b<0时，Y随x的↑而↓，速率趋大，曲线凹向上，并 向y=-a/b渐近。
ˆ Y
7.23
残差平方 0.1380
0.4
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
12.3
15.7 18.2 18.7 21.4 22.6
-0.9163
-0.5108 -0.2231 0 0.1823 0.3365
0.8396 151.29
0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76
(二) 指数函数拟合
例2：表2为15名重伤病人的住院天数X与预后指数Y 的数据，根据两者的关系拟合曲线。
表2 重伤病人的住院天数X与预后指数Y 编 号 X Y 1 2 2 5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 10 14 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65 8 11 8 4 6
12.3
15.7 18.2 18.7 21.4 22.6
1.6
23.8
合计 140.3
1.绘制散点图，决定曲线类型 2.曲线直线化变换 y ˆ a b ln x
表2 免疫球蛋白与火箭高度的关系
X 0.2 Y 7.6 X'＝lnX (lnX')2 -1.6094 2.5902 Y2 57.76 (lnX')Y -12.2314
120 100 80 60 40 20 0 0 -20 20
y = -0.7525x + 46.46 y = 56.665e-0.038x y = -15.966Ln(x) + 72.283 y = 159.93x
-0.7191
40
60
80
曲线拟合 Curve fitting
郑大公卫统计教研室
平智广
(6)多项式回归
当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以适 应多项式去逼近，称为多项式回归（ polynomial regression)。
最简单的是二次多项式，其方程为：
ˆ y a b x b x 1 2
2
它的图象是抛物线。
当b2＞0时，曲线凹向上，有一个极小值；
b2 ＜ 0 时，曲线凸向上，有一个极大值。
b>0
b <0
0
x
当b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凸向上； 当b<0时，Y随x的↑而↓，曲线凹向上。 根据对数函数的性质，x为大于0的正数。
(三) 幂关系曲线 方程为:
y
ˆ ax y
b
y
a>0,b>1 a >0,b<0 a>0,0<b<1
0 0
x
x
当a>0，b>1时，Y随x的↑而↑，曲线凹向上； 当a>0，0<b<1时，Y随x的↑而↑ ，曲线凸向上； 当a>0，b<0时， Y随x的↑而↓ ，曲线凹向上，且以x轴和y轴为 渐近线。
(一) 对数关系曲线的拟合
ˆ y a b ln x
例1：上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的 免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭 高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性 回归方程。
表1 免疫球蛋白与火箭高度的关系
X 0.2 Y 7.6
0.4
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
11.1860
-12.8898
23.40
0.1597
1.6458
合计 140.3 -2.2708
3.建立线性回归方程
回归方程为： Yˆ =19.7451+7.7771lnX 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回 归方程有贡献。 确定系数为0.992，表明回归拟合原资料很好。
医学研究中 X 和 Y 的数量关系常常不 是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人 的生长曲线，药物动力学等，都不是线性 的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚 至得出错误结论。
一、非线性关系的类型与特点
根据非线性关系的性质和特点可大致分为6类： 1. 指数形式关系 2.对数形式关系
3. 幂形式关系
5. S型形式关系