课时规范练 A 组基础对点练1设m , n 是不同的直线，a, B 是不同的平面，且 m , n? a,则"all 是"m // B 且n // &的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：若m , n?a, a//B 则m // B 且n // B 反之若 m , n?a,m // B 且n // B 贝U a 与B 相交或平行，即“a// B 是“ m // B 且n // B”的充分不必要条件. 答案：A立，所以m // l i 且n// I 2是a// B 的一个充分不必要条件. 答案：A3 .设a, B 是两个不同的平面， m 是直线且m? a,① AD// BC i ;②平面 AB i D i // 平面 BDC i ;® AD i // DC i ;@ ADJ / 平面 BDC i .2. 设a , B 是两个不同的平面， m , n 是平面相交直线,则a// B 的一个充分不必要条件是a 内的两条不同直线，l i , I 2是平面B 内的两条A . m // l i 且 n // I 2B . m // B 且 n // l 2C . m // B 且 n // B解析：由 m // l i , m? a, l i ? B,得 l i /D . m // a,同理 I ? // a,B 且 l i // a又l i , I 2相交，所以aB,反之不成“ m // B 是 “a// B” 的(A .充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：若m? a 且m// B,则平面a 与平面B 不一定平行，有可能相交；而 m? a 且 a/ B 一一定可以推出m // B,所以“m // B 是“a// B 的必要而不充分条件. 答案：B4. （20i8江西赣中南五校联考）已知m , n 是两条不同的直线，a , 则下列命题中正确的是（ ）B,丫是三个不同的平面,A .若a丄Y, a 丄 B则丫// BB .若 m //n , m? a ,n? B ,则 C .若 m //n , m 丄a ,n 丄B ,则 D .若 m //n , m //a ,则n // a解析： 对于A ,若 a 丄Y a 丄BB,则丫// B 或丫与B 相交；对于B , m // n , m? a, n? B,选C. 答案:5.已知正方体 ABCD易知C 正确；对于D ,若m // n , m // a ,则 A i B i C i D i ,F 列结论中，正确的结论是n // a 或n 在平面a 内.故（只填序号）.B 或a 与B 相交;则a a // Ba // B解析：连接AD i, BC i, AB i, B1D1, CQ I, BD，因为AB 綊CQ i，所以四边形AD i C i B为平行四边形，故AD i〃BC i,从而①正确；易证BD // B i D i, AB1// DC 1,又AB 1A B1D1=B1, BD Cl DC 1= D ,故平面AB1D1/ 平面BDC1, 从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因ADJ/ BC1, AD1? 平面BDC1, BC1?平面BDC1，故AD1/平面BDC1，故④正确.答案：①②④6•如图所示，在四面体ABCD中，M , N分别是△ ACD , △ BCD的重心,则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是___________ .解析：连接AM并延长，交CD于E,连接BN,并延长交CD于F，由重心性质可知，E, F重合为一点，且该点为CD的中点E,连接MN , 由EM= EN= 1,得MN // AB.因此，MN //平面ABC 且MN //平面ABD.MA NB 2答案：平面ABC、平面ABD7. (2018咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是n边长为1的菱形，/ ABC = -, OA丄底面ABCD , OA = 2, M为OA4的中点，N为BC的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积；⑵证明：直线MN //平面OCD.解析：⑴•/ OA丄底面ABCD ,••• OA是四棱锥O-ABCD的高.二•四棱锥O-ABCD的底面是边长为1的菱形,n - 寸2 / ABC = 4 ,•••底面面积S 菱形ABCD =于.•「OA = 2,•••体积V O-ABCD= ⑵证明：取OB的中点E,连接ME , NE（图略）. •/ ME // AB, AB// CD , • ME // CD.又••• NE// OC , ME A EN= E, CD A OC = C,•平面MNE //平面OCD.•/ MN?平面MNE ,• MN //平面OCD.D D(1)请将字母F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);& 如图，四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD 丄平面ABCD , PD = DC = 2, 点E , F 分别为AD , PC 的中点.9. (2018昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在 正方体中，设BC 的中点为M , GH 的中点为N.(1)证明：DF //平面PBE ; ⑵求点F 到平面PBE 的距离. 解析:1(1)证明：取PB 的中点G ,连接EG , FG ,贝U FG // BC ,且FG = _BC ,1•••DE // BC 且 DE = 2BC ,「. DE // FG 且 DE = FG ,•••四边形DEGF 为平行四边形，••• DF // EG ,又DF?平面PBE , EG?平面 PBE ,• DF //平面 PBE.⑵由(1)知DF //平面PBE , •点D 到平面 PBE 的距离与 F 到平面 PBE 的距离是相等的， 故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为 d. 连接 BD. •/ V D PBE = V P BDE ,.1 1…§S °PBE d = §S °BDE PD ,由题意可求得 PE = BE = 5, PB = 2 3, --S A PBE = AB = 2X 1 X 2= 1 ,H DFCE AfiF12X 2,3X1='.6，又S ABDE= §DE⑵证明：直线MN //平面BDH ;(3)过点M, N , H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比.解析：⑴点F, G , H的位置如图所示.(2)证明：连接BD，设0为BD的中点，连接0M , OH , AC, BH , MN.••• M , N分别是BC, GH的中点，1•••OM // CD，且OM = 2CD ,1NH // CD，且NH = 2CD ,• OM // NH , OM = NH ,则四边形MNHO是平行四边形，• MN // OH ,又MN?平面BDH , OH?平面BDH ,• MN //平面BDH .⑶由(2)知OM // NH , OM = NH,连接GM , MH ,过点M , N , H的平面就是平面GMH , 它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是体积比等于底面积之比，即 3 : 1.B组能力提升练1. 已知直线a , b,平面a,则以下三个命题：①若 a // b , b? a,贝U a // a;②若 a / b , a // a,贝U b // a;③若 a / a, b // a ,贝U a // b.其中真命题的个数是()A . 0B . 1C. 2 D . 3解析：对于①，若a/ b , b? a,则应有a / a或a? a,所以①是假命题；对于②，若a// b , a// a ,则应有b// a或b? a,因此②是假命题；对于③，若a // a, b// a ,则应有a // b或a 与b相交或a与b异面，因此③是假命题.综上，在空间中，以上三个命题都是假命题.答案：A2. 已知直线a , b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面a使b丄a；(1)请将字母F, G , H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);② 一定存在平行于 a 的平面a 使b //a ； ③ 一定存在平行于 a 的平面a 使b? a ；④ 一定存在无数个平行于 a 的平面a 与b 交于一定点. 则其中正确的是（ ）A .①④ C .①②③D .②③④解析：对于①，若存在平面a 使得b 丄a,则有b 丄a ,而直线a , b 未必垂直，因此①不正确； 对于②，注意到过直线 a , b 外一点M 分别引直线a , b 的平行线a 1, b 1，显然由直线a 1, b l 可确定平面a,此时平面a 与直线a , b 均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B 作直线a 2与直线a 平行，显然由直线 b 与a ?可确定平面a,此时平面a 与直线 a 平行，且b? a,因此③正确；对于④，在直线b 上取一定点N ，过点N 作直线c 与直线a平行，经过直线 c 的平面（除由直线a 与c 所确定的平面及直线 c 与b 所确定的平面之外）均 与直线a 平行，且与直线 b 相交于一定点 N ,而N 在b 上的位置任意，因此④正确.综上 所述，②③④正确• 答案：D3. （2018温州十校联考）如图，点E 为正方形 ABCD 边CD 上异于点C , D 的动点，将厶ADE 沿AE 翻折成△ SAE ,使得平面SAE 丄平面ABCE ,则下列三种说法中正确的个数是 （）① 存在点E 使得直线SA 丄平面SBC ; ② 平面SBC 内存在直线与SA 平行； ③ 平面ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行. A . 0 B . 1 C . 2D . 3解析：由题图，得 SA 丄SE ,若存在点 E 使得直线 SA 丄平面SBC ，贝U SA 丄SB, SA 丄SC ,贝U SC , SB, SE 三线共面，则点 E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为 SA 与平面SBC 相交，所以在平面 SBC 内不存在直线与 SA 平行，故②错误；显然，在平面 ABCE 内，存在 直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行，故③正 确.故选B. 答案：B 4.下列命题中，错误的是 （）A .一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B .平行于同一平面的两个不同平面平行B .②③C .如果平面 a 不垂直平面 伏那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面 3D .若直线I 不平行平面a,则在平面a 内不存在与I 平行的直线解析：A 中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行， 不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A 正确；B 是两个平面平行的一种判定定理， B 正确；C 中，如果平面 a 内有一条直线垂直于平面 3则平面a垂直于平面 3这是面面垂直的判定定理），故C 正确；D 是错误的，事实上，直线 I 不平行 平面a,可能有I? a,则a 内有无数条直线与I 平行. 答案：D5. （2018唐山统一考试）在三棱锥 P ABC 中，PB = 6, AC = 3, G PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ,则截面的周长为 ___________ .解析：过点G 作EF // AC ,分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN // PB 、FM // PB , 分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN （图略），则四边形EFMN 是平行四边形，所以 即EF = MN = 2, FM = FM =-，即FM = EN = 2,所以截面的周长为 2X 4 = 8.PB 6 3 答案：86. 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线 B 。