移大于第一次 A 对地的位移，即第二次做功多一些．正确选项为 A．
【答案】A
【点悟】功的计算公式W Fl cos 中的位移 l 一般均是以地球为参考系
2．如图 1-6 所示，一个质量为 m 的木块，放在倾角为 α 的
斜面体上，当斜面与木块保持相对静止沿水平方向向右匀速移
动距离 s 的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合
）
A．0
B．－Fh
C．－2Fh
D．－4Fh
【解析】从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个
阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力
对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，
即W W上 W下 Fh Fh 2Fh
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
【解析】：A 引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功.C 杠
铃在此时间内位移为零.D 木块的支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功.故 A、C、D 是正确的.
【答案】ACD
二、求变力的功:
1.化变力为恒力：
(1) 分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功.
【答案】C 【点拨】空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式
W Fl cos 得出 W=0 的错误结论.从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过
程小球路程的乘积.
● 拓展
如图 1-3 在光滑的水平面上，物块在恒力 F＝100Ｎ的作用下从 A 点运动到 B 点， 不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4 ｍ，α＝37°， β＝53°，求绳的拉力对物体所做的功. 【解析】绳的拉力对物体来说是个变力（大小不变，方向改变），但分析发现，人 拉绳却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子做的功来求绳对物体所做的功
☆ 易错门诊
【例 3】物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落 到地面上的 Q 点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运 动，如图 1-4 所示，再把物块放到 P 点自由滑下则（ ）
A.物块将仍落在 Q 点
图 1-4
B.物块将会落在 Q 点的左边 C.物块将会落在 Q 点的右边 D.物块有可能落不到地面上
【答案】B
【点拨】恒力是否做功及做功的正负关见看力 F 与 l 夹角 α, 若 α 为锐角做正功，若 α 为直角则不做功，若 α
为钝角则做负功.
● 拓展
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功 B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留 10s，运动员对杠铃做的功
力的功是多少？
【解析】木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个 力，重力 mg，支持力 F1，静摩擦力 F2，根据木块的平衡条件，
图 1-6
由这三个力的大小，物体的位移及力与位移的夹角．即可由功的计算公式算出它们的功．
沿斜面建立直角坐标将重力正交分解，由于物体相对斜面静止而在水平面上做匀速运动，根据力的平衡
F 图 1-7
所求的总功为：
W F s1 F s2 F s3......
F (s1 s2 s3......)
【答案】B
【点悟】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了. （1）当 v0=vB 物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平
抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在 Q 点的右边. （2）当 v0＞vB 物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物
【解析】 功的两个必要因素是力和在力的方向上发生的位移.比较力的功，就是要比较做功的两个必要因素。
由题意知：三种情况下，水平力 F 相同，沿水平面发生的位移相同，则两个必要因素都相同，所以力对物体
做的功必然相同.
【答案】A
7．如图 1-7 所示，某个力 F＝10N 作用于半径为 R＝lm 的转盘的边缘上，力 F 的大
解： kd d kd k(d d) d
2
2
∴ d ( 2 1)d
3. 作出变力变化的 F－l 图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功. 在 F-l 图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功.对于方向不变，大小随位 移变化的力，作出 F-l 图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所 做的功,上述例题也可用图象法来求解.因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成 正比，即 F=kd，其图象为图 1-2 所示. 铁锤两次对钉子做功相同，则三角形 OAB 的面积与梯形 ABCD 的面积相等，
平地面上，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物 体的作用力（ ） A.垂直于接触面，做功为零；
G
θ
θ
B.垂直于接触面，做功不为零； C.不垂直于接触面，做功为零；
图 1-1
D.不垂直于接触面，做功不为零.
【解析】由于斜面是光滑的，斜面对物体的作用力只有支持力 N，方向一定垂直于斜面.若斜面固定不动，物
平面移动 s，F 做功 W1；若 F 作用在质量为 2m 的物体上，同样沿光滑水平面移动 s，F 做功 W2；若 F 作用
在质量为 2m 的物体上，沿粗糙水平面移动 s，做功为 W3.那么 W1、W2、W3 三者的大小关系是
A. W1＝W2＝W3 B. W1<W2<W3
C. W1>W2>W3
D. W1＝W2<W3
即 1 d (kd) 1 kd k(d d) d '
2
2
F
Kd+d′ kd
C A
0
BD s d d+d′
图 1-2
1
解得 d ( 2 1)d
【例 2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为 h，空气的阻力大小恒为 F，则从抛出至
落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（
一、判断力是否做功及其正负的方法：
1.看力 F 与 l 夹角 α——常用于恒力做功的情形.
2.看力 F 与 v 方向夹角 α——常用于曲线运动情形. 若 α 为锐角做正功，若 α 为直角则不做功，若 α 为钝角则做负功. 【例 1】如图 1-1 所示，小物体位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水
N FN
【正解】物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速 运动.离开传送带时做平抛运动.当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与 运动方向相反. 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落 在 Q 点，所以 A 选项正确.
2
【错解】因为皮带轮转动起来以后，物块在皮带轮上的时间长，相对皮带位移量大，摩擦力做功将比皮带轮
不转动时多，物块在皮带右端的速度将小于皮带轮不动时，所以落在 Q 点左边，应选 B 选项.【错因】学生的 错误主要是对物体的运动过程中的受力分析不准确.实质上当皮带轮逆时针转动时，无论物块以多大的速度滑 下来，传送带给物块施的摩擦力都是相同的，且与传送带静止时一样，由运动学公式知位移相同.从传送带上 做平抛运动的初速度相同，水平位移相同，落点相同.
B．.因为功没有方向性，所以功是标量
C．力和位移都是矢量，功也一定是矢量
D．力是矢量，功也是矢量
2．物体在两个相互垂直的力作用下运动，力 F1 对物体做功 6J，物体克服力 F2 做功 8J，则 F1、F2 的合力对物
体做功为（ D ）
A．14J
B．10J C．2J D．－2J
3．一个水平方向的恒力F先后作用于甲、乙两个物体，先使甲物体沿着粗糙的水平面运动距离s，做功的数值
A．W1 W2 B．W1 W2
C．W1 W2
D．无法比较．
【解析】根据功的定义，力 F 做的功只与力的大小及力的方向上发生的位
图 1-5
移大小的乘积有关，位移的大小与参考系的选择有关，在没有指定参考系时，一般是以地球为参考系，A 物
相对于 B 的位移在两种情况下是一样的，但在第一种情况中，B 相对于地面是静止的，故第二次 A 对地的位
重力与位移的夹角为 90°，则重力做的功为 WG功的代数和，即
W1
W2
WG
mgs cos sin mgssin cos 0 0
3
课后创新演练
1．关于功是否为矢量，下列说法正确的是（ B ）
A．因为功有正功和负功，所以功是矢量
A αB β
图 1-3
F H
W=F·l=F( H H )=100 J sin sin
【答案】W=F·l=F( H H )=100J sin sin
三、分析摩擦力做功: 不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功.力
做功是要看哪个力对哪个物体在哪个过程中做的功，而不是由力的性质来决定的.力做正功还是做负功要看这 个力是动力还是阻力.摩擦力可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直.
条件可得：
斜面对木块的支持力 F1=mgcosа；斜面对木块的静摩擦力 F2=mgsinа 支持力 F1 与位移 S 间的夹角为 900+а，则支持力做的功为 W1= F1Scos(900+а)=－mgScosаsinа
摩擦力 F2 与位移 s 的夹角为 α，则摩擦力 F2 做功为W2 F2s cos mg sin cos
小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力 F 做