1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿.(2) 函数()y y x =由方程222sin()0xx y e xy ++-=所确定,则dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.(4)=＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量211sinx x是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设2|1|,1,()1 2, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处函数()f x ( )(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续(3) 已知2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,则()F x 为 ( )(A)31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B) 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C) 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D) 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (4) 设常数0k>,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>> 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx .(2) 求lim )x x x →-∞.(3) 求401cos 2xdx x π+⎰.(4) 求3(1)xdx x +∞+⎰.(5) 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y ex e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值. 七、(本题满分6分)设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a ++<.八、(本题满分6分)设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成∞∞型,从而利用洛必达法则进行求解.000021ln lim ln lim limlim 011x x x x x x x x x x x++++→→→→==-=-洛. (2)【答案】222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++- 【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0xx y e xy ++-=两边对x 求导,得222cos()(22)20x x y x yy e y xyy ''+⋅++--=,化简得 222222cos()2cos()2x y e x x y y y x y xy--+'=+-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数1()(2,xF x dt =-⎰两边对x 求导,得()2F x '=-. 若函数()F x 严格单调减少,则()20F x '=<,12.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. (4)【答案】1/22cosx C -+【解析】32sin cos x xdx -==⎰ 3122coscos 2cosxd x x C --=-=+⎰.(5)【答案】222111(1)ln(1)222x x x ++-- 【解析】这是微分方程的简单应用. 由题知2ln(1)dyx x dx=+,分离变量得 2ln(1)dy x x dx =+,两边对x 积分有 2221ln(1)ln(1)(1)2y x x dx x d x =+=++⎰⎰.由分部积分法得因为曲线()y f x =过点1(0,)2-,故12C =-,所以所求曲线为 222111(1)ln(1)222y x x x =++--.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因为当0x →时,1sin x是振荡函数,所以可用反证法. 若取 11kx k π=,则221111sin()sin 0k k k k x x ππ==, 211(2)2k x k π=+,则22222111sin (2),(1,2,,)2k k k k x x π=+=L . 因此,当k→∞时,有10k x →及20k x →,但变量211sinx x或等于0或趋于+∞,这表明当0x →时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.由题可知221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ++++→→→→--===+=--, 221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ----→→→→--===-+=---. 因()f x 在1x =处左右极限不相等,故在1x =处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤<时,01x t ≤≤≤,故2()f t t =,所以 23311111()()(1)33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x ≤≤时,12,t x ≤≤≤故()1f t =,所以[]111()()11x xxF x f t dt dt t x ====-⎰⎰.应选(D). (4)【答案】(B)【解析】判定函数()f x 零点的个数等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 对函数()ln x f x x k e =-+两边对x 求导,得 11()f x x e'=-.令()0f x '=,解得唯一驻点x e =,即 ()0,0;(),()0,;(),f x x e f x f x e x f x '><< ⎧⎨'<<<+∞⎩严格单调增加严格单调减少所以x e =是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>.又因为 00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩, 由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同).故函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为2,选项(B)正确.(5)【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形判断.由()(),f x f x =--知()f x 为奇函数,图形关于原点对称； 在(0,)+∞内()0,()0,()f x f x f x '''>>图形单调增加且向上凹,根据图可以看出()f x 在(,0)-∞内增加而凸,()0,()0f x f x '''><,选(C). 方法二：用代数法证明.对恒等式()()f x f x =--两边求导,得()(),()()f x f x f x f x ''''''=-=--.当(,0)x ∈-∞时,有(0,)x -∈+∞,所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''=->=--<,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (2)【解析】应先化简再求函数的极限,100limlim11x x x→-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.111[ln(cos )ln(cos 0)]ln ln 282482284ππππ=+-=+=-. (4)【解析】用极限法求广义积分. 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdx x x x y e e dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件1x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解2(1)xx y ex e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)xx x x x x x y ex e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程xy y y e αβγ'''++=,得恒等式2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比较同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32xy y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方程为2320rr -+=,解之得 121,2r r ==.所以微分方程32xy y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,则边界线为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时,2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦.所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,则cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,则边界线为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示. 当x x dx →+时, 所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,则1,x t dx dt =+=,所以21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰.再令sin t θ=,则cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43Vx x x x dx πππ=---=-⎰.六、(本题满分9分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===. 由22,BC ODAD OA OD AC AD==-,有 222()2R R h h r r h hr=⇒=---. 于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, ADOC所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=. 七、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a +<+. 证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,则()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>.从而()f x 为严格单调递增函数,且 即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,则21ln ()xf x x -'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x-'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<, 所以有ln()ln a x aa x a+<+, 即 ()aa xa x a ++<.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得 由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aMf x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的基本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一. 证法三：分部积分法.[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以221122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。