一维抛物线偏微分方程数值解法（4）
上一篇参看一维抛物线偏微分方程数值解法（3）（附图及matlab程序）
解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）
Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0)
U(x,0)=e^x, 0<=x<=1,
U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0<t<=1
精确解为：U(x,t)=e^(x+t);
用紧差分格式：
此种方法精度为o(h1^2+h2^4),无条件差分稳定；
一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解）
Matlab程序为：
function [u p e x t]=JCHGS(h1,h2,m,n)
%紧差分格式解一维抛物线型偏微分方程
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m,n分别为空间，时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
x=(0:m)*h1+0; x0=(0:m)*h1;%定义x0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
syms f;
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
f(i,j)=0; %f(i,j)=f(x0(j),t0(i))==0%
end
end
for(i=1:n+1)
u(i,1)=exp(t(i));
u(i,m+1)=exp(1+t(i));
end
for(i=1:m+1)
u(1,i)=exp(x(i));
end
r=h2/(h1*h1);
for(i=1:n) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
a(1)=0;b(1)=5/6+r;c(1)=1/12-r/2;d(1)=(r/2-1/12)*u(i+1,1)+... (1/12+r/2)*u(i,1)+(5/6-r)*u(i,2)+(1/12+r/2)*u(i,3)+...
h2/12*(f(i,1)+10*f(i,2)+f(i,3));
for(k=2:m-2)
a(k)=1/12-r/2;b(k)=5/6+r;c(k)=1/12-r/2;d(k)=h2/12*(f(i,k)+...
10*f(i,k+1)+f(i,k+2))+(1/12+r/2)*(u(i,k)+u(i,k+2))+(5/6-r)...
*u(i,k+1);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性end
a(m-1)=1/12-r/2;b(m-1)=5/6+r;d(m-1)=(1/12+r/2)*(u(i,m-1)+u(i,m+1) )+...
(5/6-r)*u(i,m)+(r/2-1/12)*u(i+1,m+1)+ ...
h2/12*(f(i,m-1)+10*f(i,m)+f(i,m+1));
for(k=1:m-2) %开始解线性方程组消元过程
a(k+1)=-a(k+1)/b(k);
b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k);
d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);
end
u(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程%
for(k=m-2:-1:1)
u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2))/b(k);
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解
e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差
end
end
[u p e x t]=JCHGS(0.1,0.005,10,200); surf(x,t,e)
>> title('误差');运行约43秒；
[u p e x t]=JCHGS(0.1,0.01,10,100);surf(x,t,e) 20多秒；[u p e x t]=JCHGS(0.2,0.04,5,25);surf(x,t,e) 3秒；
此方法精度很高；
二：g-s迭代法求解线性方程组
Matlab程序
function [u e p x t k]=JCFGS1(h1,h2,m,n,kmax,ep) % 解抛物线型一维方程格式（Ut-aUxx=f(x,t),a>0)
%用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解
%kmax为最大迭代次数
%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;
%e为误差，p为精确解
syms temp;
u=zeros(n+1,m+1);
x=0+(0:m)*h1;
t=0+(0:n)*h2;
for(i=1:n+1)
u(i,1)=exp(t(i));
u(i,m+1)=exp(1+t(i));
end
for(i=1:m+1)
u(1,i)=exp(x(i));
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
f(i,j)=0;
end
end
a=zeros(n,m-1);
r=h2/(h1*h1); %此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1
for(k=1:kmax)
for(i=1:n)
for(j=2:m)
temp=((1/12+r/2)*(u(i,j-1)+u(i,j+1))+(5/6-r)*u(i,j)+...
h2/12*(f(i,j-1)+10*f(i,j)+f(i,j+1))+(r/2-1/12)*(u(i+1,...
j-1)+u(i+1,j+1)))/(5/6+r);
a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j))*(temp-u(i+1,j));
u(i+1,j)=temp;%此处注意是u(i+1,j),,而不是u(i+1,j+1)% end
end
a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j));
if(k>kmax)
break;
end
if(max(max(a))<ep)
break;
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j)+t(i));
e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));
end
end
[u e p x t k]=JCFGS1(0.1,0.005,10,200,100000,1e-12);k=67;运行速度1秒左右；surf(x,t,e)
[u e p x t k]=JCFGS1(0.01,0.001,100,1000,1000000,1e-12);k=5780;surf(x,t,e)。