等比数列的前n 项和（第一课时）一．教材分析。

（1）教材的地位与作用：《等比数列的前 n 项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n 项和”是“等差数列及其前n 项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二．学情分析。

（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓 , 表现欲较强 , 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。

不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三．教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．（3）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。

四．重点 , 难点分析。

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法及公式应用中q 与 1 的关系。

五．教法与学法分析.培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。

一句话：还课堂以生命力，还学生以活力。

六．课堂设计（一）创设情境，提出问题。

（时间设定： 3 分钟）[ 利用投影展示]在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。

西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64 格。

国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。

为什么呢？[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点 ]提出问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 1 2 22 23 263（二）师生互动，探究问题[5 分钟 ]提出问题 2：1+ 2 +22+ 23++263究竟等于多少呢?有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。

）提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）提出问题 4：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到另一式：[ [ 利用投影展示]...S64 1 2 22 23 263 (1)2S 2 22 23 24 264 (2)64比较（ 1）(2 ）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（ 2）两式有许多相同的项）提出问题 5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。

（学生会发现：S64264 1[ 这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇]这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题 6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（ 1）式两边要同乘以 2 呢？[这个问题的设计意图 :让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫 ]（三）类比联想，解决问题。

[ 时间设定： 10 分钟 ]提出问题 7：设等比数列a n的首项为a1,公比为q,求它的前项和S n即 S n a1 a2 a3 a n学生开展合作学习 , 讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。

[ 设计意图：从特殊到一般,从模仿到创新 , 有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验]（四）分析比较，开拓思维。

[ 时间设定： 5 分钟 ]将不同的的方法进等行比分析数评列价。

{根a n 据},学公生比的为认识q 状,况它，的可前能有n 如下项几和种方法：错位相减法 1：S n a a q a q 2a q n 2 a q n 111111qS na 1 q a 1q2a 1q n 2 a 1q n 1a qn1(1 q) S na 1 a 1qn等比数列 { a n },公比为q,它的前n项和错位相减法 2S na 1 a 2a 3a n 1 a nqS na 2 a 3an 1a na n q(1 q ) S n a 1a n q等比数列 { a n },公比为 q,它的前 n项和提出公比 qS n a 1 a 2 a 3a n 1anS n a 1 a 1 q a 1 q 2a 1 q n 2 a 1q n 1a 1 q(a 1 a 1 qa 1q n 3 a 1 q n 2 )a 1 q( S n a 1q n 1 )(1 q)S a a q nn 1 1累加法等比数列 { a n },公比为 q,它的前 n 项和S n a 1 a 2 a 3a n 1ana 2 a 1 q a 3 a 2 qa 4 a 3 qa n a n 1qa 2 a 3a n q( a 1 a 2 a 3a n 1 )S n a 1 q( S n a n )(1 q)S n a 1a n q可能也有同学会想到由等比定理得S n a 1 a 2 a 3 a na 2 a 3 a nqa 1 a 2 an 1a 2a 3a nqa 1 a 2an 1即S n a1qS n a n(1 q) S n a 1 a n q【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美 】（五）．归纳提炼，构建新知。

[ 时间设定： 3 分钟 ]提出问题 8: 由n1 1n 得s n = a 1 - a 1qn对不对？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为(1- q)s = a - a q1- q1？ q 1 时是什么数列？此时 S n？【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识， 完善知识结构，增强思维的严谨性】．提出问题 9: 等比数列的前 n 项和公式怎样 ?a 1 (1 q n )a 1 a n q 学生归纳出 S n,q 1S n 1, q 11 q qna 1, q 1na 1 , q 1【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解 】（六）层层深入，掌握新知 。

[ 时间设定： 15 分钟 ]基础练习 1已知 a n 是等比数列 , 公比为 q2 1(1) 若 a 1 = 3 ,q= 3 , 则 S n(2). 则 a 1 2, q 1, 则 S n练习 2 判断是非(1).1-2+4-8+16-+ -2 n1 (1 2n )1 ( 2)(2).1 2 2 232 n1 (1 2n )21 2(3).a a 2 a 3a 8a(1 a 8 )1 a【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量．进行正反两方面的“短、浅、快”练习．通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征． 】例 1 已知数列 a n 是等比数列 , 完成下表题号 a 1 q n a nSn（1） 1/2 1/2 8（2） 272/38（ ） -2 -96 -633【设计意图：渗透方程思想 .通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力 .掌握公式中 ”知三求二 ”的题型 】练习 3：求等比数列 1, 1, 1 , 1 , 前8项和；2 4 8 16 变式 1 、等比数列 1 1 1 163 2 ,4,8 , 16 ,前多少项的和是 64 ； 变式 2、等比数列 1,1,1, 1 , 求第 5 项到第 10 项的和；24816 n ,变式 、等比数列 a,a 2,a 3,a 求前 2n 项中所有偶数项的和。

3（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。

)【设计意图：变式训练 ,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思想】．练习 4有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20 元，以后每个月的工资是上月工资的 2 倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。

请你分析一下，老板的选择是否正确？【设计意图： 让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．】（七）总结归纳，加深理解。

[ 时间设定： 2 分钟 ]（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？ （2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构】（八）课后作业，巩固提高。