绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xECBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ （A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??， 所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 解：应从一年级抽取4604556300?+++名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m .俯视图侧视图正视图解：该几何体的体积为212042233p p p ?鬃=3m . （11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________. 解：3n =时，8S =-；2n =时，4S =-，所以输出的S 的值为-4.（12）函数()2lg f x x =的单调递减区间值是________. 解：由复合函数的单调性知，()f x 的单调递减区间是(),0-¥.（13）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ? ，点,E F 分别在边,BC 上，3BC BE =，DC DF l =.若1AE AF?，则l 的值为解：因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2AB AD?-. 因为()13AE AFAB AD AD AB l 骣÷ç?+?÷ç÷ç桫，1AE AF? ，所以1214133l l 骣骣鼢珑-?+?=鼢珑鼢珑桫桫，解得12l =.（14）已知函数()254,22,0,0.x x x f x x x ìï++ï=í->£ïïïî若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________. 解：作出()f x 的图象，如图 当直线y a =-与函数254y x x =---相切时，由0D =可得1a =，所以1a >.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如下表：PF现从这6（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发表的概率.解：（I ）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y ,Z}，共15种.（II ）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种. 因此，事件M 发生的概率62().155P M==（16）（本小题满分13分）在ABC∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知a c -=，sin B C =.（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 解：（I ）在三角形ABC 中，由sin sin b c B C =及C B sin 6sin =，可得b=又b c a 66=-，有2a c =，所以222222cos 2b c aA bc +-=(II)在三角形ABC 中，由cos A =，可得sin A =，于是21cos22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A =-=-==，所以cos(2)cos 2cossin 2sin666A A A πππ-=+=（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥P AB C D -的底面是平行四边形，B A B ==2AD =，PA PD ==,E F 分别是棱AD ，PC 的中点.（Ⅰ）证明 //EF 平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P AD B --为60，（ⅰ）证明 平面PBC ^平面ABCD ；（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.解：（I ）)证明：如图取PB 中点M,连接MF,AM.因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC.由已知有BC//AD ，BC=AD.又由于E 为AD 中点，因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF//AM,又AM ⊂平面PAB,而EF ⊄平面PAB,所以EF//平面PAB. （II ）（i ）证明：连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E 为AD 中点，故PE ⊥AD,BE ⊥AD,所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角.在三角形PAD 中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD 中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB 中，PE=2, BE=1,60PEB ∠= ,由余弦定理，可解得从而90PBE ∠= ，即BE ⊥PB,又BC//AD,BE ⊥AD,从而BE ⊥BC,因此BE ⊥平面PBC.又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD, （ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC.所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由∠ABP 为直角，而MB=12可得,故,又BE=1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==所以，直线EF 与平面PBC 所（18）（本小题满分13分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M，2MF =，求椭圆的方程.=，所以22223a c c -=，解得a =，2e =. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为22222x y c +=. 因为()0,B c ，所以直线1BF 的斜率11BF k =. 因为11PF BF ^，所以直线1PF 的斜率11PF k =-，直线1PF 的方程为y x c =--.设()00,P x x c --，则有()2220022x x c c +--=，解得043cx =-或00x =（舍），所以4,33c c P 骣÷ç-÷ç÷ç桫. 因为线段PB 的中点为22,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫，所以圆的方程为222225339c cc x y 骣骣鼢珑++-=鼢珑鼢珑桫桫. 因为直线l与该圆相切，且2MF =，所以22529899c c +=，解得23c =. 所以椭圆方程为22163x y +=.（19）（本小题满分14分）已知函数()2323f x x ax =-()0a >，x R Î. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的()12,x ??，都存在()21,x ??，使得()()121f x f x ?.求a 的取值范围.（Ⅰ）解：因为()2323f x x ax =-，所以()()22221f x x ax x ax ¢=-=-.令()0f x ¢=得0x =或1a. 因为当0x <或1x a>时，()f x 单调递减，当10x a <<时，()f x 单调递增，所以()()00f x f ==极小值，()2113f x f a a 骣÷ç==÷ç÷ç桫极大值. （Ⅱ）解：因为()()121f x f x ?，所以2323112222133a a x x x x 骣骣鼢珑--=鼢珑鼢珑桫桫.（20）（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =- ，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+?==++ .（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++ ，112n n t b b q b q -=+++ ，其中,i i a b M Î，1,2,,i n = . 证明：若n n a b <，则s t <.（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i==+?+，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（Ⅱ）证明：因为1q >，所以,i i a b M Î，所以1i a q ?，1,2,,1n i =- ，1nn a b ?.所以()()()221111n n n qq q q b q s --?+++++-()()111111n n n q q b q q---=-?--111n n n n t b q b q --=-<£.。