利用边界条件确定积分常数：
C2 0 x 0，y 0；
q
3
x l ，y 0
1 ( x) (ql 3 6qlx 2 4qx 3 ) 24 EI Z
ql C1 24
A
B
x
A max
L
ymax
B max
qx 3 2 3 y ( x) (l 2lx x ) 24 EI Z
5.求最大挠度fB: 将x=l代入: fB=Pl3/3EI (挠度向下)
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
q
A B
建立坐标、 解： 写弯矩方程
ymax
x
A max
L
B max
1 1 2 M ( x) qlx qx 2 2
1 2 1 挠曲线近似微分方程 EI Z y( x) M ( x) qx qlx 2 2 1 3 1 2 EI Z ( x) qx qlx C1 积分一次： 6 4 再次积分： EI y ( x) 1 qx 4 1 qlx 3 C x C Z 1 2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
• 积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB. 1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x) 2.挠曲线近似微分方程
EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
符号：挠度向下为正， 向上为负。
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
符号：顺时针转动为正。
单位：弧度
P
O
A yA A
B
A
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
（3）截面挠度与转角的关系 挠曲线的斜率： dy tg
dx
dy 工程中由于是小变形， 极小。可用： tg dx
+
y BF
BF
Fl ql 3EI 3EI Fl 2 ql3 2 EI 2 EI
4 4
3
4
+
3）叠加得截面B的挠度和转角
yB yBq yBF
ql ql 11ql （ ） 8EI 3EI 24EI
ql3 ql3 2ql3 （顺时针） 6 EI 2 EI 3EI
x 0，x l， max
l x ，ymax 2
max
ymax
ql 24 EI Z
3
5ql 4 384 EI Z
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d y M ( x) 2 dx EI 正负号取决于坐标系的 选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
2
d y M ( x) f ( x) 2 d x EI Z
2
§6-2
2
梁在弯曲时的变形
6.2.3 用积分法计算梁的变形
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数 边界条件: x=0, =y´=0 C=0 x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI
A

Ay
为什么要计算 A A 位移?
Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
A
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
例4：悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作用有集中 力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面 B的挠度和转角。 解：1）分解载荷 梁上载荷可分解成均布载荷 q 与集中力F的叠加。 2）查表可得这两钟情况下 截面B的挠度和转角：
ql 4 y Bq 8 EI 3 ql Bq 6 EI
叠加原理的步骤：
①分解载荷；②分别计算各载荷单独作用时 梁的变形；③叠加得最后结果。
梁在简单载荷作用下的变形 梁的简图 挠曲线方程
Fx 2 y (3l x ) 6 EI
转角和挠度
Fl 2 B 2 EI Fl 3 yB 3EI
2 Fx 2 Fa y (3a x) 0 x a B 6 EI 2 EI Fa2 Fa 2 (3l a) y (3 x a ) a x l y B 6 EI 6 EI ql3 B 2 6 EI qx 2 2 y ( x 4lx 6l ) ql4 24 EI yB 8EI
4
B Bq BF
6.2.5 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件 设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， [ f ]和[ ]分别为挠度和转角的许用值，则 梁的刚度条件
ymax [ f ]
max [ ]
挠度的许用值[ f ]一般为梁的跨度L 的 1/200～1/1000。
A
O
yA A
B
A
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
2、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量） （1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴） 方向上所产生的线位移，称为梁横截面的挠度。
P
O
A yA A
B
A
单位：mm
横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变 的规律用挠曲线方程表示。即： y f（x）
梁在简单载荷作用下的变形 梁的简图 挠曲线方程
Mx 2 y 2 EI Mx 2 y 0 xa 2 EI Ma a y (x ) a x l EI 2
转角和挠度
Ml EI Ml 2 yB 2 EI
B
Ma EI Ma a yB (l ) EI 2
转角和挠度
A
Fab(l b) Fab(l a ) B 6 EIl 6 EIl l 2 b2 设a b，在x 处 3 ymax
2 3 2 2
Fb(l b ) , 9 3EIl Fb(3l 2 4b 2 ) 在x l / 2处 y0.5l 48EI
A
y
Mx 2 (l x 2 ) 6EIl
Mx 2 2 (l x 3b 2 ) 6 EIl 0 xa M y [ x 3 3l ( x a) 2 6 EIl 2 (l 3b 2 ) x] a xl y
M 2 (l 3b 2 ) 6 EIl M 2 B (l 3a 2 ) 6 EIl
d y M ( x) f ( x) 2 d x EI Z
积分一次：
挠曲线近似微分方程
EI Z x EI Z f x M x dx C1
再次积分：
EI Z y x M x dx dx C1 x C2
轴向变形与轴力的关系
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA 弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。 杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极 限p ）时，应力与应变成正比。
故该梁满足刚度条件
3 3
Fl 2010 8.86 y m 9 8 48EI 48 21010 1110010
2 [ f ] l / 500 1 . 77 10 m 1.2410 m
2
6.2.5 梁的刚度校核
提高梁的刚度措施
提高梁的抗弯刚度 减少梁的跨度或增加支座 改善加载方式
P
O
A yA A
B
dy ( x) f ( x) dx
A
§6-2
梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI 横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力V d2 y 的影响后 1/(x)=M(x)/EI 2 1 d x 由高等数学可知: dy 2 3/ 2 ( x) [1 ( ) ] dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为 1 d2 y 2 ( x) dx
ql y Bq 8 EI ql3 Bq 6 EI
4
梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度 EI 、梁的跨度 l 以及梁的载荷等因 素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面 考虑：
qx 3 y (l 2lx2 x3 ) 24EI
ql3 A B 24EI 5ql 4 l x ymax 2 384EI
梁在简单载荷作用下的变形 梁的简图 挠曲线方程 转角和挠度
y Mx (l x)(2l x) 6EIl
Ml Ml ， B 3EI 6 EI 1 Ml 2 x (1 )l，ymax 3 9 3EI Ml 2 x l / 2，y0.5l 16EI Ml Ml A ， B 6 EI 3EI l Ml 2 x ，ymax 3 9 3EI Ml 2 x l / 2，y0.5l 16EI