动点问题练习1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ．∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴FD EDFC BC=． ∴2428t tt -=．解得t =4． ∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3分）（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =12×8×4+12×2t ×t =16+ t 2． 即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上，∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=216t +．∴t =4或t=0（舍去）； ②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴216t +=4t 2．∴433t =； ③若EF=FC 时，∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2，∴251616t t -+=4t 2．∴t 1=163+，t 2=1683-．∴当t 的值为44331683-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，2BC CFCD ED==，A B CD E FO 图2ABCDEF∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．………………………………………（10分） ∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ． ∵BE 2=21680t t -+，∴21680t t -+=64． ∴t 1=163+，t 2=1683-．∴当t =1683-BEC =∠BFC ．……………………………………………（12分）2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．2. 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，（2）Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=，()222141144282102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， DMA B CNNDACBM由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．3.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm /秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t ，QC=4-t ，DP=t ，BP=5-t ∵PQ ⊥BC ∴△BPQ ∽△BDC ∴BC BQ BD BP =即455t t =- ∴920=t 当920=t 时，PQ ⊥BC ……………………………………………………………………3分 （2）过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M∴△BPM ∽△BDC ∴355PMt =- ∴)5(53t PM -=……………………4分 ∴⨯=t S 21)5(53t -=815)25(103+--t …………………………………………5分∴当52t =时，S 有最大值158．……………………………………………………6分 （3）①当BP=BQ 时，t t =-5， ∴25=t ……………………………………7分 ②当BQ=PQ 时，作QE ⊥BD ，垂足为E ，此时，BE=2521tBP -=∴△BQE ∽△BDC ∴BD BQ BC BE = 即5425tt=- ∴1325=t ……………………9分 ③当BP=PQ 时，作PF ⊥BC ，垂足为F, 此时，BF=221tBQ =∴△BPF ∽△BDC ∴BD BP BC BF = 即5542tt-= ∴1340=t ……………………11分 yAO MQP B x∴14013t =， 252t =，32513t =，均使△PBQ 为等腰三角形． …………………………12分4.如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （09年济南中考） （1）求BC 的长。

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．4.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．在Rt ABK △中，2sin 454242AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== 在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC =-=∴43310BC BK KH HC =++=++=（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ A DCN（图①） A D C B K H （图②） A D C B G MN又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =即10257t t -= 解得，5017t =（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E ∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t =③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC= 即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形ADCB MN（图③）（图④）AD CBM NH E（图⑤） ADCB H N MF。