2.1.1 指数与指数幂的运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解分数指数幂的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力
2．过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质
3．情感、态度与价值观
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂概念的理解
（三）教学方法
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特
殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发
现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提出问题
回顾初中时的整数指数幂及运算性质
,1(0)
n
a a a a a a a
=⋅⋅⋅⋅⋅=≠,
0无意义
老师提问，学生回答. 学习
新知前的
简单复
1(0)
n n
a a a -=
≠;()m
n
m n
m n mn
a a a a a
+⋅==(),()n m mn n n n
a a a
b a b ==什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
习，不仅
能唤起学生的记
忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习
引入
观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 105
10
252
55
()a
a a a ===
② 884242
()a a a a ===
③
12
12
34
3
44
4
()a
a a a ===
④5
10510
252
5
()a
a a a
===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
23
2
3
(0)a a a ==> 1
2
(0)
b b b ==>55
4
4
(0)
c c c ==>即：*(0,,1)
m n
m
n
a a a n N n =>∈>
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根
式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形
式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义
数学中引进一
个新的概
念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的
形成概念
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导
让学生经历从“特殊一
备选例题
例1计算 （1）.)01.0(4122
5325.02
12
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
-
（1）5.121
3
2
4
1)9
1
()6449()27()0001.0(---
+-+； 【解析】
（1）原式1122
141149100⎛⎫⎛⎫
=+
⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11111.61015
=+-=
（2）原式=23
22123234
14])2
1[(])87[()
3()
1.0(---+-+ =3121)31
()87(31.0---+-+
=7
314
2778910=+-+.
【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
例2 化简下列各式： （1）
3
133153
83327----÷
÷
a a a a a a ；
（2）
3
3
3
233
23134)21(248a a
b a ab
b b
a a ⨯-÷++-. 【解析】 （1）原式=32
1
233
15
383
2
3
27--
-
-÷÷a a
a a
a a
=323
73
2-÷÷a a a
=3
1
22
13732)()(-÷÷a a a
=3
26
7323
26
732---
÷=
÷÷a
a a
a a
=6
13
221a a =+-；
（2）原式=
3
13
131
3
13
231313231
224)
8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷
++-
3
13
13
1313
23
1313
23
23
131323131312424)
42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅
++++-=
a a a a =⋅⋅=
3
13131.
【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如
8)
2(]
)2[()
2(2162
1
66
==
-=-.
（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。