在△AEF 中，由 EF＝ 2，AF＝ 2，AE＝2 知△AEF 是等腰直角三角形， 所以∠AEF＝45°. 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45°. 20．(1)证明 连接 OE，如图所示．
∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，∴OE∥PA. ∵OE⊂面 BDE，PA 面 BDE， ∴PA∥面 BDE. (2)证明 ∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD. 在正方形 ABCD 中，BD⊥AC， 又∵PO∩AC＝O， ∴BD⊥面 PAC. 又∵BD⊂面 BDE， ∴面 PAC⊥面 BDE. (3)解 取 OC 中点 F，连接 EF. ∵E 为 PC 中点， ∴EF △为 POC 的中位线，∴EF∥PO. 又∵PO⊥面 ABCD，∴EF⊥面 ABCD. ∵OF⊥BD，∴OE⊥BD. ∴∠EOF 为二面角 E－BD－C 的平面角，∴∠EOF＝30°. 在 R△t OEF 中，OF＝12OC＝14AC＝ 42a，∴EF＝OF·tan 30°＝ 126a， ∴OP＝2EF＝ 66a.
∴MN∥平面 BCE. 19．解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.
又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD. 因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3＝2 3. (2)如图，取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角．
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
()
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
6．已知平面α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，
则下列四种位置关系中，不一定成立的是
14．下列四个命题：①若 a∥b，a∥α，则 b∥α；②若 a∥α，b α，则 a∥b；③若 a∥α，则
a 平行于 α 内所有的直线；④若 a∥α，a∥b，b α，则 b∥α.
其中正确命题的序号是________． 15．如图所示，在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，当底面四边形 A1B1C1D1 满足条件________
60°，那么这个二面角大小是
()
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
10．如图，ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是 A．BD∥平面 CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面 CB1D1 D．异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°
()
10 题图
11 题图
11．如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D
答案
1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．9 14．④ 15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 16．a>6 17．解 直线 MN∥平面 A1BC1，M 为 AB 的中点，证明如下：
∵MD/∈平面 A1BC1，ND/∈平面 A1BC1. ∴MN 平面 A1BC1. 如图，取 A1C1 的中点 O1，连接 NO1、BO1.
所成角的正弦值为
()
A.
6 3
B.256
C.
15 5
D.
10 5
12．已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，CC1＝2 2，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1
与平面 BED 的距离为
()
A．2
B. 3
C. 2
D．1
二、填空题
13．设平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 α， β 之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝________.
()
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
7．如图(1)所示，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，
现在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后
的点记为 G，如图(2)所示，那么，在四面体 S－EFG 中必有
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为 AB、A1D1 的中点，判断 MN 与平 面 A1BC1 的位置关系，为什么？
18．ABCD 与 ABEF 是两个全等正方形，AM＝FN，其中 M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面 BCE.
19．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已 知 AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积； (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
∴VP－ABCD＝13
×a2×66a＝
6a3. 18
21．(1)证明 因为底面 ABCD 为菱形，
所以 BD⊥AC.
又 PA⊥底面 ABCD，所以 PC⊥BD.
如图，设 AC∩BD＝F，连接 EF.
因为 AC＝2 2，PA＝2，PE＝2EC， 故 PC＝2 3，EC＝233，FC＝ 2， 从而PFCC＝ 6， AECC＝ 6. 因为PFCC＝AECC，∠FCE＝∠PCA，
人教版高中数学同步练习
章末检测
一、选择题
1．下列推理错误的是
()
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
2．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于
()
A．30°
20．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点．
(1)求证：PA∥面 BDE；
(2)求证：平面 PAC⊥平面 BDE； (3)若二面角 E－BD－C 为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积．
21．如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD， AC＝2 2，PA＝2，E 是 PC 上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面 BED； (2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
∵NO1 綊12D1C1，MB 綊12D1C1， ∴NO1 綊 MB. ∴四边形 NO1BM 为平行四边形． ∴MN∥BO1. 又∵BO1⊂平面 A1BC1， ∴MN∥平面 A1BC1. 18．证明 如图所示，连接 AN，延长交 BE 的延长线于 P，连接 CP.
∵BE∥AF， ∴FNNB＝NANP， 由 AC＝BF，AM＝FN 得 MC＝NB. ∴FNNB＝MAMC. ∴MAMC＝NANP， ∴MN∥PC，又 PC⊂平面 BCE.
所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
()
A．S△G⊥ EFG 所在平面
B．S△D⊥ EFG 所在平面
C．G△F⊥ SEF 所在平面
D．G△D⊥ SEF 所在平面
8．如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，若E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于(
)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
8 题图
9 题图
△9．如图所示，将等腰直角 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，此时∠B′AC＝
B．45°
C．60°
D．90°
3．下列命题正确的是
()
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知 PC⊥EF. 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直， 所以 PC⊥平面 BED. (2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB，G 为垂足． 因为二面角 A－PB－C 为 90°， 所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC＝PB， 故 AG⊥平面 PBC，AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA，AG 都垂直， 故 BC⊥平面 PAB，于是 BC⊥AB， 所以底面 ABCD 为正方形，AD＝2， PD＝ PA2＋AD2＝2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC，且 AD 平面 PBC，BC 平面 PBC， 故 AD∥平面 PBC，A、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 d＝AG＝ 2. 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α， 则 sin α＝PdD＝12.
时，有 A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
15 题图
16 题图
16．如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点 E，
使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是________．
三、解答题
GH 交于一点 P，则
()
A．P 一定在直线 BD 上
B．P 一定在直线 AC 上
C．P 一定在直线 AC 或 BD 上
D．P 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；