第四章理想流体动力学和平面势流答案4－1 设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。

已知管径1212d d=，212d D=，过流断面1-1处压强p1>大气压强p a。

试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头线和测压管水头线。

解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。

4－2 设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如图所示。

已知压差计的读数h＝150mmH2O，空气的密度ρa =1.20kg/m3，水的密度ρ =1000kg/m3。

若不计能量损失，即皮托管校正系数c=1，试求空气流速u0。

解：由伯努利方程得2002sa ap u pg g gρρ+=a2()sp pu ggρ-=（1）式中sp为驻点压强。

由压差计得0sp gh pρ+=sp p ghρ-=（2）联立解（1）（2）两式得a a10002229.80.15m/s49.5m/s1.2gh hu g ggρρρρ===⨯⨯⨯=4－3 设用一装有液体（密度ρs=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A点和B点的流速，如图所示。

已知h1 =1m，h2 =0.6m，不计能量损失，试求A点流速u A和B点流速u B。

水的密度ρ=1000kg/m3。

解：（1）1229.81m/s 4.427m/s A u gh ==⨯⨯= （2）由伯努利方程可得22A AA u p h g gρ+= （1）22B BB u p h g gρ+= （2）式中A h 、A p 和B h 、B p 分别为A 点和B 点处的水深和驻点压强。

由（1）、（2）式可得2222A B A BA B p p u u h h g g gρ-=+-- （3） 由压差计得，22ρρρρ--++=A A s B B p gh gh gh gh p ，所以220.82A BA B p p h h h h gρ-=+-- (4) 由（3）式、（4）式得2222 4.427(10.82)0.6(10.82)0.8922229.8B A u u h g g =--=--=⨯ 29.80.892m/s 4.18m/s B u =⨯⨯=。

4－4 设有一附有空气－水倒U 形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如图所示，已知管径d =0.2m ，各测点距管壁的距离y 及其相应的压差计读数h 分别为：y =0.025m ，h =0.05m ；y =0.05m ，h =0.08m ；y =0.10m ，h =0.10m 。

皮托管校正系数c =1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。

解：因2u c gh =，所以112129.80.05m/s 0.99m/s u c gh ==⨯⨯⨯= 222129.80.08m/s 1.25m/s u c gh ==⨯⨯⨯= 332129.80.10m/s 1.40m/s u c gh ==⨯⨯⨯=过流断面上的流速分布如图所示。

4－5 已知2222,,0,x yz y xu u u x y x y -===++试求该流动的速度势函数，并检查速度势函数是否满足拉普拉斯方程。

解：(1)在习题3－19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数Φ。

2222d d d d d x y y x u x u y x y x y x y -Φ=+=+++222d d 1d()1()y x x y yy x y x x-+==++积分上式可得arctanΦ=y x（2）22222222(),()Φ∂∂-==∂∂++y xyx x x y x y 2222222222(),0()ΦΦ∂∂-∂===∂∂++∂x xy y y x y x y z 2222222200()()xy xyx y x y -+=++满足拉普拉斯方程。

4－6 已知22x y u x y -=+，22y xu x y=+，0z u =，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程。

解：(1)在习题3－8中，已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数ψ。

等流函数线方程即为流线方程。

d d d 0x y u y u x ψ=-=，2222d d 0y xy x x y x y --=++2222d d 0y xy x x y x y +=++，2222d()0x y x y +=+ 积分上式可得22ln()x y C ψ=+=（2）迹线方程d d x yx yu u =， 2222d d x yy x x y x y =-++ 2222()d ()d x y x x x y y y -+=+2222d d 0y y x xx y x y +=++，2222d()0x y x y +=+ 积分上式可得22ln()x y C +=4－7 已知u x =－ky ，u y =kx ，u z =0，试求该流动的流函数ψ和流线方程、迹线方程及其形状（k 是不为零的常数）。

解：流函数和流线方程：22d d d d d [d()]2x y ku y u x ky y kx x x y ψ=-=--=-+ 积分上式可得22x y ψ=+迹线方程:d d d -0x y z ky kx == 222x y r +=，z C =由上式可知，流线为平行于Oxy 平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。

4－8 已知u x =4x ，u y =－4y ，试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。

解：由习题3－8和3－19，可知该流动存在流函数ψ和速度势函数Φ。

4Φ∂==∂x u x x，4Φ∂==-∂y u y y 22d d d 4d 4d 2d()Φ=+=-=-x y u x u y x x y y x y积分上式可得：222()Φ=-x y4x u x y ψ∂==∂，4y u y xψ∂=-=∂ d d d 4d 4d 4d()x y u y u x x y y x xy ψ=-=+=积分上式可得 4xy ψ= 流动图形如题4－16图所示。

4－9 已知Φ=a （x 2－y 2），式中a 为实数且大于零。

试求该流动的流函数ψ。

解：2Φ∂==∂x u ax x，2Φ∂==-∂y u ay y d d d 2d 2d 2d()x y u y u x ax y ay x a xy ψ=-=+=积分上式可得 2axy ψ=4－10 已知速度势函数cos 2πΦϕρ=M，式中M 是不为零的常数。

试求该流动的流函数，并绘出流动图形。

解：21cos 2ρΦψϕρπρρϕ∂∂==-=∂∂M u ，cos 2Mψϕϕπρ∂=-∂ 对ϕ积分可得d ()cos d ()sin ()2π2πM Mf f f ψψϕρϕϕρϕρϕρρ∂=+=-+=-+∂⎰⎰ 上式对ρ取偏导数，则'2sin ()2πM f u ϕψϕρρρ∂=+=-∂ 又 2sin 2πϕΦϕρϕρ∂-=-=∂Mu 由上两式可得 '()0f ρ=，即()f ρ＝常数。

因此可得sin 2πM ψϕρ=-上述流动即为偶极流。

流动图形可参照题4—10图。

4－11 已知流函数ψ =3x 2y －y 3，试判别是有势流还是有涡流。

证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。

解：2233,6x y u x y u xy y xψψ∂∂==-=-=-∂∂ 6,6y xu u y y y x∂∂=-=-∂∂，所以是有势流。

2222222222249()369()9x y u u u x y x y x y ρ=+=-+=+=23u ρ=，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。

题4-10图4-12 设水平面流场中的速度分布为ku uϕρ==，0uρ=，k是不为零的常数，如图所示。

试求流场中压强p的分布。

设ρ=∞，u=0处的压强为p∞；水的密度为ρF。

解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（ρ=0）外，是有势流。

因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场中除原点（ρ=0，u=∞）外，2F F2u ppg g gϕρρ∞+=，因此22F F222u kp p pϕρρρ∞∞=-=-。

由上式可知，压强p随半径ρ的减小而降低。

4-13 水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗形，如图a所示。

流速场在平面内，如图b所示，可表示为ku uϕρ==，uρ=0，k是不为零的常数。

试求自由水面曲线的方程式。

解：该流体流动除原点（ρ=0）外，是有势流。

因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。

当ρ∞→时，水面高程为h；另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得2222222Muu kh z z zg g gϕρ=+=+=+,222kz hgρ=-, 该式即为自由表面方程式。

4－14 直角（90）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。

已知弯头内、外侧壁的曲率半径r1、r2分别为0.4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s，流体密度为1.2kg/m3。

试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。

解：由例4－6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为kuϕρ=，式中k是不为零的常数。

k值可由连续性方程决定，即221121d d lnr rr rrkvb u krϕρρρ===⎰⎰10(1.40.4)7.991.4ln0.4k⨯-==外壁处流速227.99m/s 5.71m/s1.4kuϕρ===，内壁处流速117.99m/s19.98m/s0.4kuϕρ===内外壁处的压强差题4-12图题4-14图12222222F21 1.2()(19.98 5.71)N/m 219.96N/m 22p p p u u ϕϕρ∆=-=-=-= （注：外侧压强大）4－15 已知（1）0u ρ=，ku ϕρ=，k 是不为零的常数；（2）0u ρ=,2u ϕωρ=,ω为常数。

试求上述两流场中半径为ρ1和ρ2的两条流线间流量的表示式。

解：（1）ku ϕψρρ∂=-=-∂，ln ()k f ψρϕ=-+ '1()0u f ρψϕρϕρ∂===∂，1()f C ϕ= 1ln k C ψρ=-+，1212lnq k ρψψρ=-= （2）2u ϕψωρρ∂=-=-∂，221()2f ψωρϕ=-+ '1()0u f ρψϕρϕρ∂===∂，2()f C ϕ= 22212C ψωρ=-+，22221121()2q ψψωρρ=-=-4－16 直角内流动。

已知平面流动的速度势Ф=a (x 2－y 2)，流函数ψ=2axy ，式中a 为实数且大于零。