2021中考数学易错题平行线铅笔头模型探究试题
模型一：铅笔头模型基础
（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明
解答：如图，过点E 作AB l //得证
360=∠+∠+∠E D B （2）反之，如图，若
360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明
解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //
总结：
①辅助线：过拐点作平行线
②若CD AB //，则
360=∠+∠+∠E D B
③若
360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //
模型一：铅笔头模型进阶
如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321
解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证 900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n 【2-n 个拐点】
模型二：锯齿模型基础
（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？
解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠
（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？
解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证
G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠
（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？
解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
模型二：锯齿模型进阶
【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：
)(2
1C A E ∠+∠=∠
解答：
①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证
②方法二：8字模型（详解见第2讲）
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
③转化思想
【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠4
1，求证： AEC AFC ∠=∠4
3
解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
③方程思想
【例3】如图，CD AB //，
61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ）
A.
149 B.
5.149 C.
150 D.
5.150
解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）
③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ， 43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）
A. 30)()(3241=+-+θθθθ
B. 40)()(3142=+-+θθθθ
C.
70)()(4321=+-+θθθθ
D.
180)()(4321=+++θθθθ
解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
模型三：臭脚模型基础
如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明
解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠
臭脚模型基础（汇总）
总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线
模型三：臭脚模型进阶
如图，直线CD AB //，
50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是
解答：
①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证
40=∠GHM 总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线
模型四：蛇型基础
如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明
解答：过点C 作AB l //得证
180=∠-∠+∠D C B 总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线
模型五：蜗牛模型基础
如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明
解答：过点C 作AB l //得证
180=∠+∠+∠D C B 总结：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。