张量 ij 、转动张量 ij 和转动矢量 i 。
转动矢量的分量为 x 32 0.001rad ，y 13 0rad ，z 21 0.0045rad
该点处微单元体的转动角度为
0.0012 0.00452 0.0046rad
第四章 屈服条件和塑性本构关系 重点：屈服条件、加载规律和塑性流动法则
强化假设 等向强化假设 加载曲面（即强化条件）
q为强化参数，恒为正值
Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材 料；或者只作为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面 ，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变 形（强化）以后的屈服性质。
随动强化假设（运动强化假设）
h为随材料而不同的常数，可由实验确定
张量 ij 、转动张量 ij 和转动矢量 i 。
解：首先求出 P 点的位移梯度张量
ux ux ux
x
y
z
6xy
3x2
0
ui x j
u y x
uz x
u y y
uz y
u y z
uz z
6z 0
2y
6x
103
2z 12z 2 y
0 3 0
12 0
6
103
也可由主应力求等效应力
第三章 应变状态理论
重点：应变分量、主应变及应变不变量的定义
小变形情况下，应变分量与位移分量的关系 (几何方程/柯西几何关系)
x
u x
,
xy
yx
u y
v x
y
v y
,
yz
zy
v z
w y
z
w , z
zx
xz
w x
u
z
x
xy xz x
12xy
12xz
ij yx y
Tresca屈服条件的完整表达式
(1 2 )2 4 2 ( 2 3 )2 4 2 ( 3 1)2 4 2 0
4 ( J 2 ') 3 2 7 ( J 3 ) 2 3 6 2 ( J 2 ) 2 9 6 4 J 2 6 4 6 0
p平面上的屈服曲线 (正六边形)
x 2 (1 2 ) 2k 常量 2
屈服函数
应力空间
屈服曲面和屈服轨迹
应变空间
等倾线
π平面
等倾线上的点所代表的应力状态是球张量，其偏张量为零 π 平面上的点所代表的应力状态是偏张量，其球张量为零
Tresca屈服条件
认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:
max (1 3 ) / 2 k
(1 2 3 )
Tresca屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上
简化模型 ② 理想刚塑性
（2）强化材料 ① 线性强化弹塑性 ② 线性强化刚塑性 ③ 幂强化
第二章 应力状态理论
重点：一点的应力状态、平面应力状态 和空间应力状态的基本公式
一点的应力状态 剪应力互等定理 主应力 应力张量不变量 八面体应力
主应力与主平面 斜截面上的正应力和剪应力：
主应力方程： 应力张量不变量：
塑性本构关系 全量理论/形变理论 建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系 增量理论/流动理论 描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论
s
2
(Tresca)
若规定纯剪时两种屈服条件重合，则Tresca六边形 外接于Mises圆，且
J2s2
或 3 maxs
(Mises)
(Tresca)
加载条件 和 加载曲面
初始屈服曲面
强化现象
加载曲面（后继屈服面）
加载函数
加载准则 对强化材料
应力增量保持在屈服面上就称为加载返到屈服面 以内时就称为卸载
yz
12
yx
y
1
2
yz
zx
zy
z
12zx
1
2
zy
z
张量形式
ij 12(ui,j uj,i)
应变张量不变量
I1 x y z
I 2
( x y
y z
z x )
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
x
1 2
xy
1 2
xz
I 3
1 2
yx
y
1 2
yz
1 2
zx
1 2
zy
z
I1 1 2 （3 体积应变） I2 (12 23 31) I3 123
u
， u
u
，z
uz z
。应变协调方程简化为
d d
，由不
可压缩条件 z 0 ，可得
d d
2
f
z 0
可积分求得
f
z
2 c z 2 ，c z 是任意函数，再代回
d d
，
可得 f z 2 c z 2 。
例 3.2 物 体 内 部 的 位 移 场 由 坐 标 的 函 数 给 出 ， 为 ux 3x2 y 6 103 ， uy y2 6xz 103 ，uz 6z2 2yz 10 103 ，求点 P1,0, 2 处微单元的应变
应力偏张量——引起塑性变形
s ij
m ij ij
应力偏张量不变量
J1sx sy sz x y z 3m0
J2
(sxsy
sysz
szsx)
2
xy
2
yz
2 zx
16[(x y)2 (y z)2 (z x)2 6(x2yy2zz2x)]
J3 sxsysz 2xy yz zxsz
0 4 24
将它分解成对称张量和反对称张量之和
0 3 0
0 7.5 0
0 4.5 0
12 0
6
103
7.5
0
5
103
4.5
0
1 103 ij ij
0 4 24
0 5 24
0 1 0
例 3.2 物 体 内 部 的 位 移 场 由 坐 标 的 函 数 给 出 ， 为 ux 3x2 y 6 103 ， uy y2 6xz 103 ，uz 6z2 2yz 10 103 ，求点 P1,0, 2 处微单元的应变
s 2
yz y
s 2
zx z
2 xy
J1 0
J2 16[(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2]
J3 s1s2s3
八面体面（或等倾面）
l1l2 l3 1/ 3
正应力和剪应力
81 3(123)m
8 1 3(1 2 )2 (23 )2 (3 1 )2=
2J2 3
等效应力（或应力强度）
i 3283J212 (12)2(23)2(32)2
平均线应变
m 1 3 I1 1 3 1 2 3 1 3 x y z
应变球张量及偏张量
e 如体积不变 ij m ij ij
ij eij
x
1 2xy
1 2yx y
1 21 2yxzz0m
0
m
0
xm
01 2yx
1 2xy ym
1 2xz 1 2yz
1 2zx
1 2zy
z
0
0
m
1 2zx
1 2zy
常数k值由简单拉伸实验或纯剪实验确定
s2s 主应力空间内的屈服条件(正六边 形柱面)
1 2
2 3
2k 2k
3
1
2k
平面应力状态的屈服条件（3 0）
Mises屈服条件
用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原 来的六边形，即：
J 2 1 6 [(1 2 )2 (23 )2 (31 )2 ] C
应变协调方程 （判断某点应变场成立）
2x
y2
2x2y
2xy
xy
0
保证物体在变形后不会出现‘撕裂’，‘套叠’的现象
例 3.1 已知某轴对称问题的应变分量 z 具有 z f z 的形式，又设材料是不
可压缩的，求 , 应具有什么形式？
解： 对轴对称情况应有 u 0, 0 ，这时应变和位移之间的关系为
Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表 征偏应力张量的形式。
1 1
例2.1 已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即 x＝3, y＝0, z＝0, xy＝1 , yz ＝2, zx ＝1, 应力单位为MPa。试求该点的主应力值。
解: I 1 1 1 2 2 3 3 3 0 0 3
解得主应力为:
1 4 ; 2 1 ; 3 2 .
பைடு நூலகம்
例2.2 已知结构内某点的应力张量如式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力 及主应力数值。
10 0 10
ij
0
10
0 MPa
10 0 10
解:
平均正应力 : （10 10 10）/ 3 10 / 3
10 / 3 0 0
球形应力张量 :
J3 e1e2e3
还可以写成：
J2
1 2
eij e ji
J3 13eijejkekj
八面体面上的正应变： 剪应变：
等效应变（应变强度）
8
1 3(12
3)m
8 3 2(12 )2 (23 )2 (31 )2 2
2 J 2 3
i 1282
J2 2 33
(12)2(23)2(31)2
塑性力学期末复习总结
第一章 绪 论
重点：基本概念 简化模型
弹性与弹性变形
塑性与塑性变形
弹性区与塑性区
塑性变形的特点
塑性力学的主要研究内容