《线性系统理论》实验指导书
北方工业大学
实验目的
•1学会MATLAB的控制系统仿真
•2理论与实践相结合，学习系统建模、分析和综合
•3巩固所学的书本知识
•4应用所学的知识初步解决实际问题
实验内容
•1 选择你熟悉的对象，建立状态空间模型（可以查文献，允许仿照文献上的系统。

如系统较复杂或有应用价值，可以合作一起做）
•2 用MATLAB对你建立状态空间模型进行分析（能控能观测、稳定性、状态运动等）
•3 给定对象的性能指标，对系统进行综合
•4 画出你综合前后，在一定的输入作用下，系统状态和输出的响应曲线
•5 写出上机实验报告（合做可以只交一份）
试验步骤
• 1 确定你要研究的系统或控制对象
• 2 选择系统的输入、输出变量和状态变量
• 3 运用基本理论和基本知识建立状态空间描述，说明变量的定义域。

• 4 分析系统（能控能观测、稳定性、状态运动三种分析中至少选择一项；如果是复杂工程项目分析有困难则说明理由）
• 5 定出系统的性能指标
• 6 采用状态反馈进行系统综合
•7 给出实现性能指标所需要的控制量
•8 给出综合之后系统的状态空间描述
•9 画出仿真曲线，如用到极点配置，比较几组不同的极点对系统性能的影响
•10 写出实验报告
实验报告要求•封面
•题目和摘要
•目录
•正文
•结论
封面样本
线性系统理论上机实验报告题目：
班级：自研11；学号:28号; 姓名：牛三；合作者：马六
完成时间：2011-11-30
几点说明
总体原则：既学到本课程基本知识，又不使同学门负担过重。

• 1 总分15分
• 2 实验报告不许雷同
• 3 如本课程学习困难的同学，可以不参加实验，用这段时间复习书本知识，给基本分8分；但必须在本周四前报给我（原则上控制科学与工程的学生必须参加）。

• 4 实验时间12周开始至14周结束，第15周周四随机抽取10名同学讲解你的报告（合做的优先考虑）。

• 5 第16周周四下午各班代表收齐实验报告交到我办公室，同时把不参加实验的同学报给我。

• 6 不统一组织试验和指导，没有上级条件的同学，可以在研究生机房和自动化系实验室使用计算机，有困难者我帮助联系。

举例说明
•选择如图所示的倒立摆系统，单级倒立摆系统是航空航天领域应用的一个简单模型。

•倒立摆安装在一个小车上，通过小车运动控制倒立摆直立。

二级倒立摆系统
•
三级倒立摆系统
•
选择系统的输入、输出变量和状态变量
•选择状态变量，，，为系统输入，为系统输出
y x =1y x x &&==12θ=3x θ&&==3
4x x u y 进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。

在水平方向，应用牛顿第二定律：u l y t
m t y M =++)sin (d d d d 22
22θ在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：θθsin )sin (d d 22mg l y t m =+
分析系统
：选取适当参数，单级倒立摆系统的状态方程为
u x x x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10100110010000100001043214321&&&&[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210001x x x x y 首先，使用MATLAB ，判断系统的能控性。

输入以下程序
计算结
果为
根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是
能控的。

判断系统稳定性
•特征值法
•系统开环特征值不全部在s左平面，系统不稳定
因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点
例如将极点配置在61−=s 5.62−=s 73−=s 5
.74−=s 在MATLAB 中输入命令
得到计算结果为
因此，求出状态反馈矩阵为
[]
175.1495.488175.12275.204−−−−=K 状态反馈系统的极点配置及其MATLAB/Simulink 仿真
采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

首先，在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值。

然后运行仿真程序。

得到的仿真曲线
从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态）。

o 0=θ20
,20,44,444321−=−=−−=+−=μμμμj j 将极点配置在
重复上述过程
状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真
首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。

输入以下程序
计算结果为
因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。

因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。

而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。

23
4
−
=
s
22
3
−
=
s
21
2
−
=
s
设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。

通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。

不妨取状态观测器的特征
值为：20
1
−
=
s
输入以下命令计算结果为
求出状态观测器矩阵为[]T
243120
40590
2780
90−
−
=
G
如果采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

首先，在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵
的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值。

然后运行仿
真程序。

得到的仿真曲线。

比较两个仿真结果，具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈系统的控制效果和没有状态观测器的控制系统的控制效果。

系统在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车的这类外力）时的设计
希望在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持摆垂直。

当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置x = 0。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x= 0）。

假设M、m和l的值为：
M = 2千克，m = 0.1千克，l= 0.5米
对于给定的角度θ和（/或）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。

此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置。

该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角θd 总为零，并且期望的小车的位置总在参考位置上。

因此，该系统是一个调节器系统）。

选择期望的闭环极点位置。

要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于ξ= 0.5）。