中考数学之定值探究（通用版）
近年来，我们经常遇到求线段的和、差、积、商是一个定值的问题，也会遇到在图形的变换过程中，面积是一个定值的问题.这类问题的提出，往往是询问的语气，不能说一定是定值或一定不是定值，需要探讨后才能作出结论.这类题型难度大，运用的知识点多，计算量大，对综合运用知识的能力有较高要求.
本文档将此类型的题目分为几个类型，供各位老师进行探究：
一、α为定值
例1 已知抛物线21y x mx m =-+++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)。

如图1，若点M 为抛物线位于x 轴上方图象上一动点，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，直线MN 上有一点H ，满足HBA ∠与MAB ∠互余，试判断HN 的长是否变化，若变化?请说明理由，若不变，请求出HN 长.
分析△AMN 的三边随点M 的变化而变化，但因为HBA ∠与MAB ∠互余，所以△AMN ∽△HBN ，从而可以建立比例关系，求出HN 的长.
解 令210y x mx m =-+++=，得
11x =-，21x m =+，
∴(1,0)A -，(1,0)B m +.
设(,0)N t ，则
2(,1)M t t mt m -+++，
∴1NA t =+，
1BN m t =+-，
21MN t mt m =-+++.
∵90HBA MAB ∠+∠=︒，
90ANM MNB ∠=∠=︒，
∴△AMN ∽△HBN ， ∴MN AN NB HN
= 即2111t mt m t m t HN
-++++=+-， 解得1HN =.
评析本题以二次函数为背景，结合相似三角形，找出等量关系(注意避免使用,AM BH ).其中含有参数的代数式的因式分解是本题难点，合理使用有关线段是解决本题的关键. 二、a b
为定值 例2 如图2，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于,A B 两点，交y 轴于,C D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于点G ，若A 点的坐标为(2,0)-，8CD =.
(1)求⊙M 的半径.
(2)求AE 的长.
(3)如图3，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 上运动时，
OF PF
的比值是否发生变化?若不变，求出比值;若变化，请说明变化规律.
解：
(1)易得⊙M的半径为5.
(2)如图2，连结CM交AE于点H.∵C为AE的中点，
∴CM AE
⊥.
又∵90
COM
∠=︒，
∴COM AHM
≅，
∴4
AH CO
==，
故8
AE=.
(3)如图3，连结,
MF MD.
∵PD与⊙M相切于点D，
∴△ODM∽DPM，
∴
25
3
DM DM
PM
OM
•
==.
∵
3
5
OM
FM
=，
53
255
3
FM
PM
==，
且OMF FMP ∠=∠，∴△OMF∽△FMP，
∴
3
5 OF OM
PF FM
==.
评析第(3)小题，求OF
PF
的比值，难度较大.此时，我们可以考虑F运动的特殊情况。

比如，F运动到A点时，2
OF=，
10
3
PF=，得
3
5
OF
PF
=，而
3
5
OM
FM
=，这样自然联想到相似
三角形(△OMF∽△FMP)，进而求得比值OF PF
.
三、m n a b
+(,m n 为常数)为定值 例3 如图4，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点,B C ，抛物线2(1)y a x k =-+经过点,B C ，并与x 轴交于另一点A .
(1)求此抛物线及直线AC 的函数表达式.
(2)经过点(0,1)D 的直线m 与射线AC ，射线OB 分别交于点,M N .当直线m 绕点D
旋转时，2AM AN
+是否为定值?若是，求出这个值;若不是，说明理由.
解：
(1)易得33AC y x =+，以及抛物线的函数表达式: 2(1)4y x =--+.
(2)如图5，过点M 作MP x ⊥轴于点P . 设直线m 的解析式为1y kx =+，则直线m 与射线AC 和OB 分别交于点233(,)33
k M k k ---，1(,0)N k
-.
∵AC =
AC AM
=. 而AC CO AM MP
=，
∴22CO AM AN MP AN +=+ 3233113k k k
=
+--+- 32311k k k k -=+=--. 评析第 (1)小题是常见题型，学生很容易解决.第(2)小题需要学生有一定的数感.
往往是直角边为3和1构成的直角三角形的斜边长，
这样AM 转化成AC AM ，进一步转化成CO MP
.
四、角度为定值
例4 如图6，抛物线1l ：21(2)y a x =-与直线2l ：2(2)y am x b =--+ (,,a m b 为常数，0a ≠，
0m <)交于,A B 两点，直线2l 交x 轴于点C ，点A 的坐标为(2,)m n +.
(1)如图6，求证:3AB AC =.
(2)如图7，设抛物线顶点为F ，直线2l 交抛物线的对称轴于点D ，直线3l ：32(2)y am x d =-+(d 为常数，0d ≠)经过点A ，并交抛物线的对称轴于点E .若BFD p AED ∠=∠(p 为常数)，则p 的值是否发生变化?若不变，请求出p 的值;若变化，请说明理由.
解：(1)将(2,)A m n +代入21(2)y a x =-，得2n am =，再将2(2,)A m am +代入2(2)y am x b =--+，得22b am =，
∴22(2)2y am x am =--+，
由此得(22,0)C m +.
令12y y =，得2(22,4)B m am -+.
如图8，分别过点,A B 作x 轴的垂线,AM BN ，垂足为,M N ，则
AB MN AC CM =(22)(2)3(2)(22)m m m m -+-+==+-+， ∴3AB AC =.
(2)不变，1p =.
将2(2,)A m am +代入32(2)y am x d =-+，得2d am =-，
∴232(2)y am x am =--.
易得3l 与抛物线对称轴的交点2(2,)E am -.
如图9，过点,A B 作抛物线对称轴的垂线,AG BH ，垂足为,G H ， 则1tan 2BH BFD FH am
∠==， 1tan 2AG AED EG am
∠==， ∴tan tan BFD AED ∠=∠，
∴BFD AED ∠=∠，
即1p =.
评析 第(2)小题以二次函数为背景，通过构造直角三角形并借助相关点的坐标，用代数式表示tan BFD ∠及tan AED ∠，得出BFD AED ∠=∠，从而求出1p =.
五、面积为定值
例5 如图10，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点，点E 是边AC 上的一动点，点F 是边BC 上的一动点.
(1)若AE CF =，试证明DE DF =.
(2)在点E 、点F 的运动过程中，若DE DF ⊥，试判断DE 与DF 是否一定相等?并加以说明.
(3)在(2)的条件下，若2AC =，四边形ECFD 的面积是一个定值吗?若不是，请说明理由;若是，请直接写出它的面积.
解 (1)易证DE DF =.
(2)∵90ACB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 中点，
∴AD CD =，且90ADC ∠=︒.
∵90EDF ∠=︒，
∴ADE CDF ∠=∠
又∵45A DCB ∠=∠=︒，
∴△AED ≌△CFD ，
∴DE DF =.
(3)由(2)，知△AED ≌△CFD ，
∴CDF AED S S ∆∆=，
∴CDE CDF ECFD S S S ∆∆=+四边形
1CDE AED ACD S S S ∆∆∆=+==.
评析 不规则图形的面积往往通过割补转化成规则图形来解决.
综观上述几例，定值问题往往与函数及图形变换有关，需要有综合分析问题的能力.通过观察、操作、猜想、探究，找出题目中的“变”与“不变”，以寻求问题突破口.。