历年高考数学压轴题题选（2012文）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-（2012理）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.（2011文）23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵ 12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由；⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ∈）。
（2011理）22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
⑴ 求1234,,,c c c c ；⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；⑶ 求数列{}n c 的通项公式。
23、（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。
⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组。
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。
② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。
③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。
（2011春）21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
已知抛物线y x F 4:2=（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的 直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
（2010文）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ．（1）若21x -比3接近0，求x 的取值围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2；（3）已知函数()f x 的定义域{},,D x x k k Z x R π≠∈∈．任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．（2010理）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m ．（1）若21x -比1远离0，求x 的取值围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2；（3）已知函数()f x 的定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎩⎨⎧+≠=R x Z k k x x D ,,42ππ．任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．（2010文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点．（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ 的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标．（2010理）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）．（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<<b a Q ，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值围．（2010春）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知首项为1x 的数列}{n x 满足11+=+n nn x ax x （a 为常数）。
（1）若对于任意的11-≠x ，有n n x x =+2对于任意的*N n ∈都成立，求a 的值；（2）当1=a 时，若01>x ，数列}{n x 是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当a 确定后，数列}{n x 由其首项1x 确定，当2=a 时，通过对数列}{n x 的探究，写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
（2009理）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数()y f x =的反函数。
定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a积性质”。
（1） 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。
求()y f x =的表达式。
（2009文）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（1）若 31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（2）若nn b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若21,3nn n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和式数列中{}n a 的一项，请证明.（2009理）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。