·１ ２ ４· 廓效果最佳 。 令 ：
Ｎ
机 械 工 程 与 自 动 化 ２ ０ １ ２ 年第 ６ 期
依据求最小值的 方 法 ， 对 系 数ａ ′ ｂ ′ ｃ求偏导数 ｉ、 ｉ、 ） ′ －２ ａ ′ ｂ ′ ｚ ′＋ ｃ ′ ＋ｚ ′－２ ｙ ｙ ∑（
２ ｉ ｊ ２ ｉ ｊ ２
第 ６期（ 总第 １ ７ ５期） ２ ０ １ ２年１ ２月
机 械 工 程 与 自 动 化 ＭＥ ＣＨＡＮ Ｉ Ｃ Ａ Ｌ Ｅ ＮＧ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ ＮＧ ＆ ＡＵＴ ＯＭＡ Ｔ Ｉ ＯＮ
Ｎ ｏ ． ６ Ｄ ｅ ｃ ．
（ ） 文章编号 ： １ ６ ７ ２ ４ １ ３ ２ ０ １ ２ ０ ６ １ ２ ３ ３ －６ －０ －０
） 乘拟合方程见图 １。 对式 （ 展开并整理得 ： １
２ ２ ２ ２ ２ ） ｚ － ２ ａ ′ ２ ｂ ′ ｚ＋（ ａ ′ ｂ ′ ｒ ＝ ０。 … （ ２ ｙ＋ ｙ－ ｉ ｉ ｉ ＋ ｉ － ｉ） ２ ２ ２ ） 令ｃ＝ 由式 （ 得： ａ ′ ｂ ′ ｒ ２ ｉ ＋ ｉ － ｉ， ２ ２ ） ｚ －２ ａ ′ ｂ ′ ｚ＋ ｃ＝０ 。 …………… （ ３ ｙ＋ ｙ－２ ｉ ｉ ， 以每条线轮廓上测点坐标 （ 代入式（ 方 ′ ｚ ′ ３） ｙ ｉ ｉ ｊ， ｊ） 程式明显不等于零 ， 而为 ： ２ ２ ） ′ ｚ ′ ａ ′ ′ ｂ ′ ｚ ′ ｃ 。 …… （ ４ Δ ｙ ｙ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｊ＝ ｊ＋ ｊ －２ ｊ －２ ｊ＋ 其中 ： Δ ｉ ｊ 为实际线轮廓 上 各 点 与 理 论 线 轮 廓 上 对 应 点
在空间坐标系中 ， 直接用最小二乘法求每条线轮 廓的中心点比较复杂 ， 为了便于计算 ， 将空间内的线轮 廓绕 ｚ 轴转θ ｏ ｚ 平面 。 其中 ： ｉ 角度至ｙ
ｙ ｉ ｊ 。 ｒ ｃ ｔ ａ ｎ θ ｉ＝ａ ｘ ｉ ｊ 空间线轮廓上各点坐标通过坐标 （ 变换 ｘ ｚ ｙ ｉ ｉ ｉ ｊ， ｊ， ｊ）
的函数偏差值 。 设 ：
Ｎ ｊ ＝ ∑Δｉ
２
Ｎ
ｊ＝１
ｊ＝１
′ ｙ ∑（
２ ｉ ｊ
２ ２ ） 。 ′ ａ ′ ′ ｂ ′ ｚ ′ ｃ ＋ｚ ｙ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｊ －２ ｊ－２ ｊ＋
） ……………………………………………………… （ ５ 当偏差值为最小 值 时 ， 理论线轮廓逼近实际线轮
） ； 河南省教育厅自然科学研究计划项目 （ ） ； 河南科技大学博士科研启动基金项目 ５ ０ ８ ７ ５ ０ ７ ６ ２ ０ ０ ８ Ａ ４ ６ ０ ０ ０ ７ 櫜 国家自然科学基金资助项目 （ ； 修回日期 ：２ 收稿日期 ：２ ０ １ ２ ５ ７ ０ １ ２ ６ ０ －０ －１ －０ －３ ， 男 ， 河南洛阳人 ， 在读硕士研究生 ， 主要研究方向为机械制造过程监控及检测技术 。 作者简介 ： 周佳 （ １ ９ ８ ５ －）
）＝ Ｆ（ ａ ′ ｂ ′ ｃ ｉ， ｉ，
ｉ ｉ ｊ
ｉ ｉ ｊ
。
后得出 ：
ｊ＝１
） ……………………………………………………… （ ６
Ｎ
２ ２ Ｆ （ ） ·（ ′ ａ ′ ０ ｂ ′ ｚ ′ ｃ ′ ′ ′ －２ ＝０ ｙ ｙ ｙ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｊ＋ｚ ｊ－２ ｊ －２ ｊ＋ ｊ） 烄 ＝０ 烄 ∑ １ ｊ＝ ａ ′ ｉ
０ 引言 轴承主要用于确 定 旋 转 件 与 固 定 件 相 对 运 动 ， 是 在机器及各类机械 起支承或导向作用的 典 型 零 部 件 ， 研究轴承沟道形状误差评定 中占有重要地位 。 因 此 ， 对提高轴承的精度及整个机器或机械的性能有重要的 意义 。 目前多使用圆 度 、 线轮廓度来评价轴承沟道形 状误差 ， 即用一条线 轮 廓 和 底 圆 形 成 的 几 何 要 素 的 误 而对轴承沟道整 差对轴承沟道的形状 误 差 进 行 评 定 ， 体形状误差的评定国内外很少报道 。 本文依据最小二 提出了轴承沟道形状误差的最小 乘形状误差的定义 ， 二乘评定 。 １ 最小二乘算法过程及步骤 １． １ 提 取 测 量 点 坐标 将工件水平放置在工作台上 ， 利用三坐标测量机对 轴承沟道的每条线轮廓进行采样取点 ， 从中取得的测量 （ ， ， …， 点为 Ｐ ｘ ｚ ｉ表 示 测 量 线 轮 廓 数， ｉ＝１ ２ ｙ ｉ ｉ ｉ ｉ ｊ（ ｊ， ｊ， ｊ） ， ， …， 。 Ｍ； ＝ １ ２ Ｎ） ｊ 表示每条线轮廓上的测量点数 ， ｊ １． ２ 求 空 间每 条 线轮廓 的 中 心 点 通过三坐标测量机对轴承沟道每条线轮廓进行测 量并得到采样点 ， 用最小二乘法对每条线轮廓求其半 径及圆心的位置 ， 但轴承沟道轮廓是非整圆 ， 不能直接 需要坐标变换求空间每条 用整圆的最小二乘法 公 式 ， 线轮廓的中心点 。 １． ２． １ 坐标变换
轴承沟道形状误差的最小二乘评定
周 佳 ， 雷贤卿
（ ） 河南科技要 ： 结合轴承沟道形状误差的几何特性 ， 提出了轴承沟道形状误差的最小二乘评定 ， 详细阐述了利用 最 小 二乘算法求解轴承沟道形状误差的过程和步骤 。 该算法采用最小二乘法拟合每条线轮廓的中心 ， 得到一 个 空 间圆及方程 ； 求解空间圆与每条线轮廓所在平面的交点坐标 ； 计算每条线轮廓上测点至所对应的每个交 点 的 距离中最大值和最小值之差 ， 从中找到最大极差值 ， 即得到包容整个轴承沟道的最小二乘形状误差值 。 该 算 法简单明确 ， 具有精度高 、 易于计算机程序实现 、 易于推广应用等特点 。 关键词 ： 最小二乘 ； 轴承沟道 ； 形状误差 中图分类号 ：ＴＨ １ ３ ３．３ 文献标识码 ：Ａ
２ ２ （ 。 至ｙ ｘ ｚ ′ ｚ ｏ ｚ 平面上的新坐标为 ： ′ ｙ ｙ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｊ＝ 槡 ｊ＋ ｊ， ｊ＝ ｊ）
１． ２． ２ 求所有平面线轮廓的圆心 设平面线轮廓的最小二乘拟合方程为 ：
２ ２ ２ ） （ ａ ′ ｚ－ ｂ ′ ｒ １ ｙ－ ｉ）＋ （ ｉ）＝ ｉ 。 ………………… （ ， 其圆心为 （ 半 径 为ｒ 平面线轮廓最小二 ａ ′ ｂ ′ ｉ， ｉ） ｉ，