人
教
的夹角．
A
版
数
[解析] cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝
a2＝a·a＝|a|2＝9；
b2＝b·b＝|b|2＝16；
人
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A
(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6 3－32
版 数
学
＝6 3－23.
[点评] 由于内积满足分配律，故可象多项式乘以多 项式一样展开.
第三章 空间向量与立体几何
[例 2] 已知|a|＝2 2，|b|＝ 22，a·b＝ 2，求 a 与 b
第三章 空间向量与立体几何
向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则
a·b＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋
2b)·(a－b)＝________.
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A
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝6 3；
(4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A)
＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A]
人
教
＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C]
A 版 数
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＝14[－12－12＋12－12＋12]＝－18.
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A
版
数
学
第三章 空间向量与立体几何
[分析] 求向量后据定义进行计算，特别
注意 a 与 b 的夹角是其方向的夹角．如〈B→D，D→C〉＝120°， 人 教
A
易错写成〈B→D，D→C〉＝60°.
版 数
学
第三章 空间向量与立体几何
[解析] (1)E→F·B→A＝12B→D·B→A＝12|B→D|·|B→A|cos〈B→D，B→A〉
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
第三章 空间向量与立体几何
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为
钝角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π.
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A
④|a·b|≤|a|·|b| ， 特 别 地 ， 当 θ ＝ 0 时 ， a·b ＝
版 数
学
|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|.
⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于
向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能
得出a⊥(b－c)．
⑤a·b＝0 a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0.
第三章 空间向量与立体几何
⑥三个不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，
但对于三个向量a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b
是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共
线的向量，a与c却不一定共线．
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A
与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数
版 数
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量积也具有如下性质．
1°a⊥b⇔a·b＝0.用于判断两向量是否垂直．
2°|a|2＝a·a用于求向量的模．
3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作
，则角 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，
记作〈a，b〉．
通常规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，
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A
a〉
＝12×1×1×cos60°＝14.
人
(2)E→F·B→D＝12|B→D|·|B→D|cos〈B→D，B→D〉
教 A 版 数
学
＝12×1×1×cos0°＝12.
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|cos〈B→D，D→C〉＝12
×1×1×cos120°＝－14.
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握空间两个向量的夹角，两个向量互相垂直的概念
及表示方法．
掌握两个向量的数量积的概念、计算方法以及运算
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A
律．
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学
2．过程与方法
能够初步运用空间向量的数量积，来研究空间线面的
直．
三垂线定理的逆定理：
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A
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂
版 数
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直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影 垂直．
即与斜线垂直⇔与射影垂直．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
[例1] 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和
对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算
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第三章 空间向量与立体几何
1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以
空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的
定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相
同．
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A
2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是
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不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
垂直关系．
了解三垂线定理及其逆定理．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
重点：理解掌握两个向量的夹角，两个向量的数量积
的概念，理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应
用．
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问
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A
题转化为向量计算问题．
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第三章 空间向量与立体几何
版 数
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如果〈a，b〉＝ 90° ， 则 称 a 与 b 互 相 垂 直 ， 记 作
a⊥b.
第三章 空间向量与立体几何
2．空间两个非零向量a、b，a·b＝|a||b|cos〈a，b. 〉 叫做向量a、b的数量积(或内积)．
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，
空间两个向量的数量积也具有如下性质：
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A
(1)a⊥b⇔ a·b＝0 ；
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(2)|a|2＝ a·a ；
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：
(1)(λa)·b＝ λ(a·b) ；
(2)a·b＝ b·a
；(交换律)
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
第三章 空间向量与立体几何
3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的 一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂