有理数知识总结⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧意义；科学计数法乘方运算顺序混合运算法则加、减、乘、除的运算有理数的运算近似数；精确度数的大小运用：几何意义、比较概念绝对值相反数小、利用数轴比较数的大运用：在数轴上表示数概念数轴有关概念有理数;; 1. 相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。

2. 正数和负数像+21，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。

像-5，-2.8，-43等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

【注】0既不是正数也不是负数。

3. 有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数 【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。

4. 数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。

2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。

（2）在数轴上比较有理数的大小1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

5. 相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

（几何意义）（3）0的相反数是0。

也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

（5）数a 的相反数是—a 。

（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。

如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。

可简写为“奇负偶正”。

6. 绝对值（1）在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a（3）绝对值的主要性质一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等。

（5）运用绝对值比较有理数的大小两个负数，绝对值大的反而小.（6）比较两个负数的方法步骤是：1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小；3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7. 有理数的加法 （1）有理数加法法则1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3）互为相反数的两个数相加得零。

4）一个数与0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 8. 有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。

a -b =a +(-b ) 9. 有理数的加减混合运算（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。

例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。

读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

（2）适当的应用加法运算律。

10. 有理数的乘法（1）有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

（3）乘法运算律 乘法交换律： ab =ba乘法结合律：(ab )c =a (bc )乘法对加法的分配律：a (b +c )=ab +ac11. 有理数的除法（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

【注】0没有倒数。

（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

【注】0不能做除数。

)0(1a ≠⋅=÷b ba b（3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。

12. 有理数的乘方（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a n an 个（2）乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数。

（3）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

13. 科学记数法（1）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。

（2）一个大于0的数就记成na 10⨯的形式。

其中,101<≤a n 是正整数。

像这样的记数法叫做科学记数法。

14. 有理数的混合运算（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

15. 近似数和有效数字（1）准确数：完全符合实际的数。

（2）近似数：和准确数非常接近的数。

近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

（4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。

【例题精讲】一、有理数“0”的作用：二、数轴与数的关系例1．下列语句中正确的是（ ）A .数轴上的点只能表示整数B .数轴上的点只能表示分数C .数轴上的点只能表示有理数D .所有有理数都可以用数轴上的点表示出来.三、相反数、倒数例2、已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0e <且||1e =，那么200920082007()()ab c d e --+-的值为 。

例3、知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，ba，b 的形式，且x 的绝对值为2，求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值四、绝对值例4、若3a -+|2b+5|=0,计算2a-b 的值.例5、若a b <，化简15___________.b a a b -+---= 例6、a ，b 在数轴上的位置如图（1）化简：||______a b += |1|_________b -=。

（2）比较大小：10a +；a b a b -+。

【利用几何意义求解】例7、代数式|2||3|x x ++-的最小值为 。

五、有理数的运算例8、（1）22133(3)33--+-÷⨯； （2）111111112345⎧⎫⎡⎤⎛⎫----⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；六、科学记数法→近似数及有效数字例9、用科学记数数表示：1305000000= ；－1020= . 例10、水星和太阳的平均距离约为57900000 km 用科学记数法表示为 . 例11、近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字. 例12、近似数0.4062精确到 位，有 个有效数字.例13、3.4030×105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .1.某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(25±0.1)kg 、（25±0.2）kg 、(25±03)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )A. 0.8kgB. 0.6kgC. 0.5kg D . 0.4kg2、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是（ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数3、若0ab ≠，则a ba b+的取值不可能是（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－24、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、175、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).A.2B. -2C. 6D.2或6 7、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ）A.4521B.4519C.6521D.6519 9、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ).A.3个B.4个C.5个D.6个 10、3028864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ）A ．41B ．41-C ．21D ．21-11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）____________________ ；12. (－3)2013×( －31)2014= ；13.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x2-= .14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求. 15.设c b a ,,为有理数，则由cc b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│= ；17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：521(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。