第二章 晶体的对称性
（Symmetry in Crystal）


自然界中的对称
• 宇宙间的普遍现象 • 建造大自然的密码 • 永恒的审美要素




¾ 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在 深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。

—— 李政道
¾ 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。

发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分 子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学 等现代科学的中心观念。

—— 杨振宁


C60
手性分子
• 组成地球生命体的几乎都是左旋 氨基酸，而没有右旋氨基酸。

• 右旋分子是人体生命的克星!


Outline
1．晶体的宏观对称元素与对称操作 2．对称要素的组合 3．晶体的32种点群及其符号 4．晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵 5．晶体的微观对称元素与对称操作 6．准晶


2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作
一、对称、对称元素、对称操作的概念
对称（symmetry）： 物体（或图形）中等 同部分有规律的重复。

¾ 自然科学最基本的概念。

对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，也就
是使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。

对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。

二、晶体的对称
• 晶体的对称：晶体中等同部分之间有规律重复。

晶体对称性的来源与体现
¾从微观角度，所有晶体都是对称的。

由三维 空间规则重复排列的粒子组成，通过平移使之 重复，即平移对称性。

¾ 晶体的对称是有一定限制的，遵循晶体对称 定律。

符合格子构造的对称才能在晶体上出现。

¾晶体对称不仅包含几何意义，也包含了物理 意义（如光学、力学和电学性质）。

•对称是晶体分类的依据，对材料的力 学和物理等性能有重要的影响。

晶体的对称性包括：
宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作 微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作
¾ 晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如 晶体的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。

¾ 晶体的微观对称主要体现在内部质点的有规 律的重复排列。

（1）对称中心与反演操作
对称中心（center of symmetry, 习惯符号C ）是一个假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的反演（倒反，反伸）。

反演符号：I
(x, y, z) (-x, -y, -z)
1
•在通过对称心直线上距对称
中心等距离的两端，必定可
以找到相对应的点。

方向相
反，距中心相等。

1国际符号：熊夫利斯（Schoenflies ）符号：i
反向平行
假想的定点
反面
投
影
圆手性相反
正面1（i）
⎪⎩
⎪⎨⎧对称操作＝对应点的坐标变换（
σ
手性相反
极图表示
对称面变换矩阵
（3）对称轴与旋转操作
对称轴（symmetry axis, 习惯符号）：
一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋转及其整数倍可使物体复原。

又称为旋转轴。

国际符号：n ；熊夫利斯符号：C n
基转角α：使整个物体复原需要的最小转角轴次n ：旋转一周物体复原的次数旋转：
符号:n 360o
n
360o =α()
αL n L
•旋转永远不能使右手系和左手系相互交换而彼此等价。

2(L 2)
手性相同
¾轴次的确定：取最高的轴次3(L3)4(L4)6(L6)
3次旋转轴4次旋转轴6次旋转轴
¾5次，> 6次旋转轴不存在，对称定律。

晶体对称定律
a + 2a cos α= ma
•晶体都表现出平移对称性。

平移对称和轴对称相互制约。

限制了轴次和点阵类型。

仍为阵点
0000180
,120,90,60,0=αn = 1, 6, 4, 3, 2
m = 3, 2, 1, 0, -1
-1 ≤cos α= (m-1)/2 ≤1
⎝
旋转反演轴
1，2，3，4，6
•旋转反演遵循晶体对称定律。

•国际符号：n
1 ，
相当于对称中心 2 ，
相当于反映面（m ）
46
2
= L
P i
C
L L i
+=3
3
4次旋转反演轴4
4
L
i
P L L i +=3
6
L 2s = L 1i = C L 1s = L 2i = P
L 6s = L 3i = L 3+ C L 4s =L 4i L 3s = L 6i = L 3+ P 映转轴(L s n
) 及其操作实际中，通常只考虑旋转反演轴，而不讨论映转轴情形。