圆相关知识点复习及练习题
一、圆的定义
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的有关概念：
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。

（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

大于半圆周的圆弧叫做优弧。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（4）顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

（5）圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

（6）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

（7）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

直角三角形内切圆半径r满足：=
+
+。

c
r
b
a2
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

1、圆的有关性质
1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、夹在平行线间的两条弧相等。

（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1（ⅰ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（ⅱ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（ⅲ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于900。

900的圆周角所对的弦是圆的直径。

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。

（5）定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

（6）圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

（7）圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角；圆外切四边形对边和相等；
（8）弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

（9）和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

（10）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

（11）两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

3、与圆有关的位置关系
（1）点和圆的位置关系：点在圆内d ;;;r d r d r >=<点在圆外，点在圆上，（2）直线和圆的位置关系：直线与圆相离（d>r ）；直线与圆相切（r d =），这条直线叫做圆的切线；直线与圆相交（r d <），这条直线叫做圆的割线。

（3）圆和圆的位置关系：外离（d>R+r ）；外切r R d +=；相交（r R d r R +<<-）)(R R ≥;内切（r R d -=）)(r R >；内含)(r R d -<)(r R >。

圆中的计算：
16、圆中有关量的计算。

（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。

L==⨯R n π2360
180R n π （2）扇形的面积用S 表示。

S=36036022R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 2
12180=⨯π （3）圆锥的侧面展开图是扇形。

r 为底面圆的半径，a 为母线长。

扇形的圆心角α=0360⨯a
r S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2
练习：
1、平面上有6个点，它们到定点P 的距离相等，那么这6个点中，在同一条直线上的可以有（ ）个
（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）无法确定
2、下列命题正确的是（ ）
（A ）三点确定一个圆 （B ）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点。

（C ）三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 （D ）圆有且只有一个内接三角形
3、下列命题中错误的个数为（ ）
①三角形只有一个外接圆 ②钝角三角形的外心在三角形外部
③等边三角形的外心也是三角形三条中线、高、角平分线交点 ④直角三角形的外心是斜边的中心
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
4、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为 。

5、已知弓形弦长为32，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）2
12 （D ）3 6、四边形ABCD 内接于圆，则∠A :∠B :∠C :∠D 可以是（ ）
（A ）1:3:2:4 （B ）7:5:10:8 （C ）1:2:3:4 （D ）13:1:5:17
7、直径为60cm 的⊙O 中，有两条平行弦AB 和CD ，AB=36cm ，CD=48cm ，那么弦AB 和CD 之间的距离是（ ）
（A ）6cm （B ）9cm （C ）18cm （D ）6cm 或42cm
8、直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
（A ）1或2个（B ）1个 （C ）2个 （D ）相切或相交
9、在△ABC 中，∠A=50°，I 是△ABC 的内心，则∠BIC 的度数为（ ）
（A ）110° （B ）115° （C ）120° （D ）125°
10、两圆的半径比为2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ）
A 、相离，
B 、外切，
C 、相交，
D 、内切或内含
11、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE ．求证：∠D = ∠B.
12、如图，在三角形ABC 中，以AB 为直径的圆O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连结ED 并延长交BA 的延长线于点F ．求证：ED 是⊙O 的切线；
13、⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C ，求证：∠ATC=∠TBC。