导数应用：含参函数的单调性讨论教师版work Information Technology Company.2020YEAR导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔> 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：xa x x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞;II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号)I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间;II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)(';a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -.例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+=x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ） 当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ） 当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III) 当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a -为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a.小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。

即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。

一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aa a x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii) 当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a. 小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。

对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

例3 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22， 当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立． 所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．引申探究：在本例3(3)中，1．若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解 方法一 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0，g ′(－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立，即a ≤x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立， 又y ＝x ＋2x，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]， ∴a ≤－3，∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]．2．若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值．解 ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)，∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3．若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解 由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g (x )在(－2，－1)上不单调，实数a 的取值范围是(－3，－22)．思维升华 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直，求a 的值； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x ， f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x ， 若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立．即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立． 所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立． 令g (x )＝1x＋ln x (x >0)， 则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2(x >0)， 由g ′(x )>0，得x >1；由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数．若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立， 所以a ≤1x＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]．三、巩固作业：1. 已知函数()ln .a f x x x=-，求()f x 的单调区间. 解：()221+,a x a f x x x x+'∞=+=函数的定义域为（0，）， ()'0f x x a ==-令得：()()()()()()000,(0,)000,0(,)a a f f x a a f f f x a '-≤≥>∴+∞''-><><∴-+∞若即，则x 在上单调递增；若即，则由x 得x>-a 由x 得x<-a在上单调递增,在0,-a 上单调递减. ()()() 0(0,)0(,)a f x a f x a ≥+∞<-+∞总之，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增,在0,-a 上单调递减.2.已知函数f(x)=21x 2－a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间。