✓个数：t个；未知数是所选参数（与条 平？）
✓系数的构成： 1、由误差方Nb程b 的BT系PB数以及观测值的权阵组
成：
2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆 （凯利逆）。
✓法方程的常数项： WBTPl
由及误观差测方值程的的N权b系b阵第x七ˆ数章组间、接W 成平差误，差即0方：程的常数项以11
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
第七章间接平差
22
坐标平差：
三角网进行间接平差时，通常取待定点 的坐标为参数，通过平差直接求得待定点 的坐标平差值，这种平差法亦称为坐标平 差。
第七章间接平差
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下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何 建立误差方程？
第七章间接平差
24
一、测方向三角网函数模型
零方向
j
(Xj,Yj)
Zj
Ljh
第七章间接平差
14
结论：
一个平差问题，无论采用哪种平差方 法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与 具体平差方法无关！
第七章间接平差
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作业：P52
7.1.04 7.1.05 7.1.07
第七章间接平差
16
例7-3.观测数据如图示，试列立误差方程。
第七章间接平差
17
例7-4.试列立误差方程。
第七章间接平差
jk ( X ˆ ˆjk k)0x ˆk ( X ˆ ˆjjk)0x ˆj ( Y ˆˆk jk)0y ˆk ( Y ˆˆjjk)0y ˆj
第七章间接平差
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Yk0Yj0
(X ˆˆjjk)01(XX Y k0kk 0 0 XYX 0jj0)0j22 (Xk0XY0jk)02Y(Y j0k0Yj0)2 ( SY 0jkj)0k2
第六章 间接平差
第七章间接平差
1
本章主要介绍三个问题：
✓间接平差原理； ✓误差方程； ✓精度评定。
第七章间接平差
2
测量平差过程:
观测值
数学模型
平差估计准则
法方程
平差值
精度评第七定章间接平差
3
7-1 间接平差原理
回顾关于间接平差：
✓何谓间接平差？
✓建立间接平差的函数模型有何要求？
✓函数模型的一般式如何？
BTPV 0
B TP B x ˆB TP l0
✓法方程：
NbbxˆW0
• 或简写为： 第(其 七章中 间接： 平N 差bbBTPB,WBTPl) 9
✓解法方程：xˆ Nbb1W
✓回代入误差方程求得改正数V：
VBNbb1Wl
✓平差结果：Lˆ L V Xˆ Nhomakorabea X 0 xˆ
第七章间接平差
10
法方程的特点：
第七章间接平差
26
ˆjk
arctan
(Yˆk (Xˆk
Yˆj ) Xˆ j)
ˆjk
arctan
(Yk0 (Xk0
Yj0) X0j )
(
ˆ Xˆ
jk k
)0
xˆ k
(
ˆ jk
Yˆk
)
0
yˆ
k
第七章(间接平Xˆˆ差j
k j
)0
xˆ
j
(
ˆ jk Yˆj
)0
yˆ
j
27
ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
18
例7-5.试列立误差方程。
（测角网）
第七章间接平差
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例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。
（测边网）
第七章间接平差
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例7-9.试列立误差方程。
（导线测量）
第七章间接平差
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7-2 观测方程
阐述经常遇到的几种间接平差函数模型： ✓以方向为观测值； ✓以角度为观测值； ✓以边长为观测值；（三角网） ✓以数字化坐标为观测值的拟合模型等。
Ljk
h (Xh,Yh)
k (XK,YK)
Z ˆj L ˆjkˆ 第j七k章 间接L ˆ 平j差kˆjk Z ˆj
25
Lˆjk ˆjk Zˆj
L jk vjk (0 jkjk) (Z 0 j z ˆj)
jk方向的误差方程为:
vjk (0 jk jk)(Z0 j zˆj)Ljk zˆj jk ljk
0 j k j k a r c t a n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ j j k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k j k ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
➢将近似值L 代ˆ入B （ 观X测0方xˆ） 程（d;函数模型）后， 得： VBx ˆ(LBX0d)
lL(B X 0d)LL 0
➢令：
第七章间接平差VBxˆl
6
关于近似值的选择
➢选取近似值的目的: 为了便于计算（使误差方程的常数项变
小）。
➢选取方法：
1、如果参数是观测量的平差值，就选该观 测值为近似值；
1、选参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程，求参数； 5、由误差方程计算V并求平差值。
第七章间接平差
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例7-1.
试按间解平差法求待定点的高程。
第七章间接平差
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例7-2.（习题集P46）6.1.09
试按： （1）条件平差法求待定点的高程； （2）间接平差法求待定点的高程； （3）附有参数的条件平差法求待定点的高程；
第七章间接平差
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✓间接平差的函数模型(观测方程)为：
Lˆ BXˆ d
n1
nt t1
n1
✓误差方程为：
VBxˆl
✓间接平差的随机模型为：
D Q
P 2 1
0L
02
L
nn
nn
✓平差准则：
VT 第七P 章间V 接平差min
5
关于间接平差函数模型
➢间接平差时，一般对参数都要取近似值,
即：
Xˆ X0 xˆ
2、如果参数是非观测值，就选由观测值来
计算得到的参数值为近似值。
第七章间接平差
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一、基础方程及其解
V T PV min V Bxˆ l
xˆ
❖思考：怎样求得 和V？
第七章间接平差
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✓按数学上求自由极值的方法，得：
VTP V2VTPVVTP B0
x ˆ
x ˆ
✓转置后得： BTPV 0
✓基础方程为： V B xˆ l