r dd CBAOdrd=rrd图4rRd图5rR d【文库独家】圆的总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。

包括性．质定理．．．与判定定理．．．．及公式．．。

一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1点与圆的位置关系: 点在圆内d<r 点C 在圆内点在圆上d=r 点B 在圆上点在此圆外d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离d>r 无交点直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交d<r有两个交点3 圆与圆的位置关系: 外离（图1）无交点d>R+r 外切（图2）有一个交点d=R+r 相交（图3）有两个交点R-r<d<R+r 内切（图4）有一个交点d=R-r 内含（图5）无交点d<R-r图1rR d图2r R d图3rR d OCDABO EDCBAFEDCBAOCBA ODCBAOCBAOCBAO四垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB ⊥CD③CE=DE④⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五圆心角定理六圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵∠C=90°∴∠C=90°∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角BC BD ACAD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE③OC=OF④BA EDPBAONMAO形即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

七圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180°∠DAE=∠C八切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件∵MN 是切线∴MN ⊥OA切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA=PB PO 平分∠BPA九圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，OD:BD:OB=1:3:2DCBAOECBADOBAOSlBAO（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，OE :AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，AB:OB:OA=十、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心。

→用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心。

→用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。

→中心对称轴对称十一、圆的有关线的长和面积。

1、圆的周长、弧长C=2r, l=R2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积S 圆=r2，S扇形=lr21S 圆锥=母线底面圆l r 2+r底面圆3、求面积的方法直接法→由面积公式直接得到间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换十二、侧面展开图：①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的；②圆锥侧面展开图是形，它的半径是这个圆锥的，它的弧长是这个圆锥的底面的。

十三、正多边形计算的解题思路：1:1:21:3:2俯视图主视图左视图第2题图第9题图ABCACD FOE B 正多边形连 OAB 转 化等腰三角形OD 作垂线转 化直角三角形。

可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。

1．下面所给几何体的俯视图是（）2．若右图是某个几何体的三视图，则该几何体是()A ．长方体B ．三棱柱C ．圆柱D ．圆台3．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm 2，扇形的弧长为10cm ，则圆锥母线长是()A ．5cmB ．10cmC ．12cmD ．13cm4．如图，在△ABC 中，AB = AC ，AB = 8，BC = 12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A ．64127B ．1632C ．16247D ．161275．半径为r 的圆内接正三角形的边长为.（结果可保留根号）6.下列结论正确的是（）A 、长度相等的两条弧是等弧B 、相等的圆心角所对的弧相等C 、圆是轴对称图形D 、平分弦的直线垂直于弦7、如图2，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA=5cm ，下面四个结论中可能正确的是（）A 、AB=12cmB 、OC=6cmC 、MN=8cmD 、AC=2.5cm8、下列命题正确的个数（）①三角形的内心一定在三角形的内部，外心在三角形的外部②三角形的内心是三角形三边中垂线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等③三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等④等边三角形的内心和外心是同一个点A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9．(8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，过点D 作DF⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，已知OE ＝1cm ，DF ＝4cm ．A ．B ．C ．D ．B（图2）AO(1)求⊙O 的半径；(2)求切线CD 的长10、等腰直角三角形ABC 的腰长为5，D 是斜边上AB 的中点，则以D 为圆心、---------------为半径的圆经过A 、B 、C ；以D 为圆心，2.5为半径的圆与直线-------------相切,当半径为-------------------时，⊙O 与AC 、BC 、AB 都相交；当半径为----------------时，⊙O 与AC 、BC 、AB 都相切。

11、在⊙O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 切⊙O 于P ，且∠APB=300，AB=3则CP=---------------------------------.12、在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，R 为半径的圆与斜边AB只有一个公共交点，则R 的取值范围是--------------------------------------------------13．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（）A ．5B ．7C ．8D ．1014．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（）A ．310B ．512C ．2 D ．315．如图24—A —9，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50゜，P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数为。

16．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积是。

17．如图24—A —13，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC ，求证：AB=CD 。

18．如图24—B —2，若等边△A 1B 1C 1内接于等边△ABC 的内切圆，则ABB A 11的值为（）A ．21B ．22C ．31D ．3319．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则下列关系成立的是（）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2<S 3D ．S 2>S 3>S 120．如图24—B —14，在⊙O 中，直径CD 与弦AB 相交于点E ，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O 的半径是。

图24—A —5图24—A —9图24—A —13图24—B —2图24—B —1421．（2005·潍坊）如图24—B —15，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于点P ，则图中阴影部分的面积是。

22．如图24—B —18，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD 。

（1）P 是优弧CAD 上一点（不与C 、D 重合），求证：∠CPD=∠COB ；（2）点P ′在劣弧CD 上（不与C 、D 重合）时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论。

23．已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF 。

（1）如图24—A —15，AB 为直径，要使EF 为⊙O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③。

（2）如图24—A —16，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B ，求证：EF 是⊙O 的切线。