两边同除以XY并移项得
X X
Y Y
Kc2
37
分离变量-2
令
X XKx 2
Y YKy 2
整理可得
d 2X dx 2
K
2 x
0
d
2Y
dy 2
K
2 y
0
(3.25)
其中 Kx2Ky2Kc2
38
解常微分方程
(3.25-a)式的解为
X(x)C1ejK xxC2ejK xx C1coKsxxjC 1siK nxxC2coKsxxjC 2siK nxx (C1C2)coKsxxj(C1C2)siK nxx AcoKsxxBsiK nxx
(3.12)式的通解为
Z (z)A ze Bze
第一项表示入射波，第二项表示反射波， 无限长波导中无反射波，因此通解应为
Z(z)Aez
(3.14)
26
Z向传播方程的解-2
（3.14式）代入（3.4式）可得波导管中E 和H的初步形式:
H EZ Z((x x,,y y,,zz)) A A 1 1 E H ZZ ((xx ,,yy )e )e zz
41
代入边界条件决定常数-3
将(3.30-2)代入(3.33)，可得 E 0siK n xasiK n yy0
因此得出 KxamKxm a
将(3.30-4)代入(3.33)，可以推出
n
KybnKy
b
42
代入边界条件决定常数-4
综合以上结果可以得出
E z(x,y)E 0sim n a x ()sin b n y ()
Ez(x,y) x
E0
msinm(x)sinn(y)
aa
b
Ez(x,y) y
E0
同理可得磁场强度应该满足的两个独立微 分方程
t2H(x,y)Kc2H(x,y)0 d2dZ2Z2(z)(K2Kc2)Z2(z)0
(3.9) (3.10)
24
分离变量-6
(3.8)和(3.10)具有相同的形式，令
2k2kC 2
则有
d2Z(z)2Z(z)0
dz2
(3.12)
25
Z向传播方程的解-1
同轴线—内外导体间有绝缘材料支撑，电 磁波被约束在内外导体间，这样就阻止了 电磁波向外辐射以及外界对它的干扰，但 无法在更高频率段使用。
5
空心金属波导
为了适用在更高频率段，防止电磁波辐射， 减少绝缘介质损耗，又提出了用空心金属 波导管做传输线。常用在微波、雷达和卫 星通信中传输信号。
6
不同的传输模式
在平行双导线中传输的行波属于TEM波， 而在金属波导中不存在TEM波，只需讨论 TE、TM波。
同轴线对在低频时传输的波是TEM波，在 高频时既有TEM波又有TE和TM波。
带状线、微带线传输的主模是TEM波，同 样还有TE、TM波存在。
7
波导中为何没有TEM波
若金属波导管中存在TEM波，那么磁力线应 在横截面上，而磁力线应是闭合的，如图所示。 根据右手螺旋规则，必有电场的纵向分量Ez。沿 此闭合磁力线对H做线积分，积分后应等于轴向电 流，但是，在空心波导管中根本无法形成轴向电 流
E z ( x ,y ,z ) A 1 E z ( x ,y ) e z 0
考察上式知Ez(x,y)尚未求出，故分析(3.7)
t 2 E z(x ,y ) K c 2 E z(x ,y ) 0
36
分离变量-1
令 E z(x ,y ) X (x ) Y (y ) XY
代入前式得 X YX Y K c 2X Y 0
22
分离变量-4
上式两边同除以E(x,y)Z1(z)，并移项得
E t2E (x(,xy ,)y)Z11 (z)d2 d Z1(2 Z z)K2
两端必然等于一个常数K
2 c
， 整理后得
t2E(x,y)Kc2E(x,y)0 d2dZ1Z(2z)(K2Kc2)Z1(z)0
(3.7) (3.8)
23
分离变量-5
将(3.30-1)代入(3.29)，可得
A [C cK o y y sD sK iy n y ] 0
因此得出 A=0。 将(3.30-3)代入(3.29)，可得
C [A cK o x x s B sK ix x n ] 0
因此得出 C=0。(3.29)成为
E z ( x , y ) B s K x D i x s n K y i y E n 0 s K x i x s n K y i y n (3.33)
第三章 波导传输线理论
内容提要
金属波导引导电磁波传播时应遵 循的基本规律和所具有的特征。
波动方程的求解过程 波导中导波的传播特性
波的传播速度 导波的波长 导波的截止波长 单模传输条件
2
§3.1 波导和导波
波导：凡是引导和限制电磁波传播的单导 体结构的传输线都可以称为波导。例如光 纤、金属波导。
(3.3)
19
分离变量-1
平面波对导体斜入射时会出现行驻波 在波导管中，当电磁波对波导管斜入射时，电磁波
将在波壁上来回反射，在横截面上将形成一种驻波 分布。驻波的分布由波导管的截面形状所决定。 入射的电磁波还将沿波导壁导行，沿着z轴向前传 播。由于是规则波导，因此沿z轴方向没有反射， 所以，沿z轴电磁波呈现行波状态， 把电磁波在波导中的传播分为两种情况：沿z方向 （即纵向）和沿x、y方向（即横向）来进行分析。
金属矩形波导的场分量
TE、TM
矩形波导中的导波 的传输特性
截止波长、单模传输条件、相速度、群速度
33
3.3.1金属矩形波导Байду номын сангаас场分量
矩形波导管
Y
b
με
Z
a
X
34
求解思路
1. 用分离变量法将偏微分方程变为两个常 微分方程
2. 求解常微分方程 3. 待定系数的确定
35
TM 波(Hz=0)
此时Hz=0,
Ex,Ey,Hx,Hy全部横向场分量
17
3.2.3 分析过程
波动方程
2E k2E 0 2H k2H 0
(3.1)
k2 2
为波导内介质的相位常数
直角坐标系中的分量表示
EiEx jEy kEz HiHx jHy kHz
(3.2)
18
标量形式亥姆霍兹方程
2E x k 2E x 0 2E y k 2E y 0 2E z k 2E z 0 2H x k 2H x 0 2H y k 2H y 0 2H z k 2H z 0
察的部分也远离波源，截面形状、大小、结构 及媒质分布不变； 传播的电磁波是简谐的。
16
3.2.2 分析导波内E、H的思路
目的：求出波导管内E、H表达式 方法：从E和H的波动方程入手 步骤：
① 从矢量波动方程获得标量波动方程； ② 求解出沿纵向传播的Ez和Hz ； ③ 利用Ez，Hz与Ex,Ey,Hx,Hy关系式解出
(3.25-b)式的解为 Y (y ) C cK o y y s D sK iy y n 因此，E(x,y)的解为
E z ( x , y ) [ A c K x x o B s K s x x i ] C c n [ K y y o D s K s y y i ]n
(3.29)
39
代入边界条件决定常数-1
20
分离变量-2
横向（驻波）和纵向（行波）分量
Ez(x,y,z)Ez(x,y)Z1(z) Hz(x,y,z)Hz(x,y)Z2(z) (3.4)
将(3.4-a)代入(3.3-c)可得
2 [ E z ( x , y ) Z 1 ( z ) k ] 2 [ E z ( x , y ) Z 1 ( z ) 0 ]
电磁场理论的有效性
任何电气问题都可以用麦氏方程表示 信号功率必须满足要求，能量携带者是电磁波，而不
是自由电子。
14
规则波导
规则波导：是指一条无限长而且直的波导， 特性沿长度不变。
工程上采用近似分析法
X Z
Y
15
3.2.1 假设条件(理想波导的定义 )
波导管壁是理想导体，电导率为无穷大； 波导内空间介质各向同性、均匀且无损耗； 波导中无自由电荷和传导电流； 波导是无限长的管子，不存在终端的反射，考
20150929 卓越
10
波导中波的特点
在与导体相平行的Z方向(即沿着理想的导 体边界)呈行波状态；
在与导体相垂直的方向上是驻波状态。
11
导体传送电磁能的实质
由电磁场理论发现，理想导体内部是 不存在电磁场的。由导体传送电磁能，实 质上传输的电磁能流的电场和磁场，只是 在导体周围有限空间内被导体引导着传输， 而不是在导体内部，导体起着引导方向和 限制的作用。
8
波导中为何没有TEM波
换一种解释：若金属波导管中存在TEM，电 力线分布于波导横截面上，则它必为闭合的磁力 线包围；磁力线正交于电场，必有磁场强度H的纵 向分量Hz如图所示。
9
自由空间和波导的不同
在均匀无限大的空间中，电磁波是自由地 向各个方向传播的。
当电磁波向理想导体斜入射时，在理想导 体的上半平面，出现由入射波与反射波叠 加形成的沿Z方向的行驻波。
与理想导体相切的电场分量应为零，
因此在金属矩形波导中，波导左右两壁和 上下两壁上Ez=0 ，从而有
x=0, 从0≤y≤b处 , Ez=0 x=a, 从0≤y≤b处 , Ez=0 y=0, 从0≤ x≤a处 , Ez=0 y=b, 从0≤ x≤a处 , Ez=0
(3.30)
40
代入边界条件决定常数-2
(3.5)
21
分离变量-3
利用横向拉普拉斯算子，上式变为 t 2 [ E ( x ,y ) Z 1 ( z ) ] z 2 2 [ E ( x ,y ) Z 1 ( z ) K ]2 E ( x ,y ) Z 1 ( z ) 0