第八讲 极坐标系与参数方程
◆ 知识梳理 一、极坐标
1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。
2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或2
2
2
tan (0)x y y x x
ρθ⎧=+⎪
⎨=
≠⎪⎩
，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.
二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程是 ；
（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ；
（3）圆心在点)2,(π
a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。
2、直线的极坐标方程
（1）过极点且极角为k 的直线的极坐标方程是 ；
（2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ；
（3）过点)0)(0,(>a a ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 ； （4）过点),(11θρ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 。
三、常见曲线的参数方程
◆ 随堂练习
第一部分：极坐标系
1、点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z π
π+∈
2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
3、在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .
4、设A （2，
32π），B （3，3
π
）是极坐标系上两点，则|AB|= _. 5、 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225
916cos ρθ
=+，则曲线C 的离心率为（ ）
A ．45
B ．53
C ．35
D ．4
5
6、 在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3
cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπ
θρ，则曲线C 1与C 2
的位置关系是
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C ：4cos ρθ=，过极点的直线
θϕ=（R ϕ∈且ϕ是参数）交曲线C 于两点0，A ，令OA 的中点为M. （1）求点M 在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53
π
ϕ=时，求M 点的直角坐标.
8、已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-π
θρπθρ上的点到圆C 上的点的最小
距离等于2。
（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）求实数k 的值。
◆ 高考链接
1、（2011安徽）在极坐标系中，点θρπ
cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）
（A ）2 （B ）
942
π+
（C ）
912
π+
（D ）3
2、（2011北京）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）
A ．(1,)2π
B ．
(1,)
2π
- C ． (1,0) D ．(1，π)
3、（2011江西）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。
4、（2010北京）极坐标方程)0(0))(1(≥=--ρπθρ表示的图形是（ ）
A 、两个圆
B 、两条直线
C 、一个圆和一条射线
D 、一条直线和一条射线 5、（2010广东）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系)20)(,(πθθρ<≤中，曲线
1cos sin 2-==θρθρ与的交点的极坐标为 。
6、（2010江苏）在极坐标系中，已知圆0sin 4cos 3cos 2=++=a θρθρθρ与直线相切，且实数a 的值。
第二部分：参数方程
1、设直线1l 的参数方程为113x t
y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为
_______。
2、若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,
:12.x s l y s =⎧⎨
=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 3、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπ
θ，它与曲线⎩⎨⎧+=+=α
α
sin 22cos 21y x ，（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________
4、直线,t y t x ⎩⎨⎧--=+-=3142（t 为参数）
，被圆⎩⎨⎧+=+=θθ
sin y cos x 5152，（θ为参数）所截得的弦长为 。
5、设曲线C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________________．
6、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=t y t x 54253（t 为参数）。
（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。
7、设P （ x ，y ）是曲线C ：⎩⎨⎧=+-=θ
θsin ,
cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，
（1）将曲线化为普通方程;（2）求x
y
的取值范围.
8、 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ，曲线C 2的极坐标方程为.2)4cos(=-π
θρ
（1）将曲线C 1和C 2化为普通方程；
（2）设C 1和C 2的交点分别为A ，B ，求线段AB 的中垂线的参数方程。
◆ 高考链接
1、（2010湖南）极坐标方程θρcos =和参数方程)(321为参数t t y t
x ⎩⎨⎧+=--=所表示的图形分别是（ ）
A 、圆、直线
B 、直线、圆
C 、圆、圆
D 、直线、直线
2、（2011陕西）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θ
θ=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上， 则
AB
的最小值为 。
3、（2011广东）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5πθθ
θ
<≤⎩⎨
⎧==y x 和)(452R t t
y t
x ∈⎪⎩⎪⎨⎧
==，它们的交点坐标为___________． 4、（2009广东卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线)(221:1为参数t kt y t x l ⎩⎨⎧+=-=与直线
)(21:2为参数s s y s x l ⎩
⎨⎧-==垂直，则=k ．
5、（2009江苏）已知曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=-=)1(31t t y t t x （为参数，），求曲线C 的普通方程。
6、（2011全国新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为)(sin 2cos 2为参数αα
α
⎩⎨⎧+==y y x ，M
为
1
C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线
2
C ．
（I ）求2
C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与
1
C 的异于极点的交点为A ，
与2
C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.
7、（2011福建）在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为
)(sin cos 3为参数ααα
⎩
⎨
⎧==y x 。
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴）中，点P 的极坐标为（4，
2
π
），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
8、（2010辽宁）已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧==θθ
sin cos y x （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
的长度均为
3
π。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。