2mm3011mm30工程光学 第十三章习题解答1． 波长nm 500=λ的单色光垂直入射到边长为3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

解： 夫琅和费衍射应满足条件 π<<+1max21212)(Z y x k)(900)(50021092)(2)(72max 2121max 21211m cm a y x y x k Z =⨯⨯==+=+>λλπ2． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单逢上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。

解： 20sin ⎪⎭⎫⎝⎛=ααI I θλπαsin 22a f y ka kal ⋅=⋅== （1）)(02.010025.05006rad a=⨯==∆λθ )(10rad d = （2）亮纹方程为αα=tg 。

满足此方程的第一次极大α43.11= 第二次极大α.22=x a kla θλπαsin 2⋅⋅==ax πλαθ=sin 一级次极大)(0286.010025.043.1500sin 6rad x x =⨯⨯⨯=≈ππθθ ()mm x 3.141= 二级次极大)(04918.010025.0459.2500sin 6rad x x =⨯⨯⨯=≈ππθθ ()mm x 59.241=（3）0472.043.143.1sin sin 2201=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππααI I01648.0459.2459.2sin sin 2202=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππααI I10．若望远镜能分辨角距离为rad 7103-⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：Dλθ22.10= )(24.21031055022.179m D =⨯⨯⨯=-- ⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=''=Γ969310180606060067πϕ11． 若要使照相机感光胶片能分辨m μ2线距，（1）感光胶片的分辨率至少是没毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径fD 至少是多大？（设光波波长550nm ）解：)(50010213mm N 线=⨯=- 3355.01490=≈'Nf D12． 一台显微镜的数值孔径为0。

85，问（1）它用于波长nm 400=λ时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应该设计成多大？（设人眼的最小分辨率是1'）解：（1）)(287.085.040061.061.0m NA μλε=⨯==（2）)(168.045.140061.061.0m NA μλε=⨯=='706.185.045.1=='εε（3）设人眼在250mm 明视距离初观察 )(72.72250180601m y μπ=⨯⨯='430168.072.72≈='=y y β 430==Γβ13． 在双逢夫琅和费实验中，所用的光波波长nm 8.632=λ，透镜焦距cm f 50=,观察到两相临亮条纹间的距离mm e 5.1=，并且第4级亮纹缺级。

试求：（1）双逢的逢距和逢宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。

解：(1) λθm d =⋅sin )2,1,0(⋅⋅⋅±±=m 又f x =θsin f d m x λ=∴ f de λ= )(21.05005.1108.6326mm e fd =⨯⨯==∴-λ )(1a d n ⋅=μ 将⎩⎨⎧==141n μ代入得41)(053.04=⇒==d a mm d a （2）当m=1时 dλθ=1sin当m=2时 dλθ2sin 2=当m=3时 dλθ3sin 3=代入单缝衍射公式 202)sin (ββI N I = θλπβsin a ⋅=∴ 当m=1时 81.0)4(21)()(sin sin 2222201===⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=πππλλπλλπd a d a d a d a I I 当m=2时 405.0)42(122sin 22202==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=πππd a d a I I 当m=3时 09.04343sin 2203=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=ππI I15． 一块光栅的宽度为10cm ,每毫米内有500条逢，光栅后面放置的透镜焦距为500nm 。

问：（1）它产生的波长nm 8.632=λ的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光线是波长为632.8nm 和波长与之相差0.5nm 的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？解：)(10250013mm d -⨯==4105500100⨯=⨯=N 由光栅方程 λθm d =sin 知3164.0101028.632sin 631=⨯⨯==-d λθ ，9486.0cos 1=θ6328.02sin 2==dλθ ，774.0cos 2=θ这里的1θ，2θ确定了谱线的位置 （1）θλθcos Nd =∆（此公式即为半角公式）)(1067.69486.010*******.632cos 663411rad Nd --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==∆θλθ )(1017.8774.01021058.632cos 63422rad Nd -⨯=⨯⨯⨯⨯==∆θλθ )(1034.3311mm f dl -⨯=∆=θ )(1008.4322mm f dl -⨯=∆=θ（2）由公式 θλcos d mf d dl ⋅=（此公式为线色散公式） 可得)(131.09486.01021500105.0cos 13611mm d f d dl =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=--θλ)(32.0774.01022500105.0cos 23622mm d f d dl =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=--θλ16． 设计一块光栅，要求：（1）使波长nm 600=λ的第二级谱线的衍射角30≤θ，（2）色散尽可能大，（3）第三级谱线缺级，（4）在波长nm 600=λ的第二级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。

在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线？解：设光栅参数 逢宽a ，间隔为d由光栅方程 λθm d =sinnm nmm d 2400216002sin =⨯≥=θλ由于θλθcos d m d d = 若使 λθd d 尽可能大，则d 应该尽可能小 nm d 2400=∴ ⎪⎭⎫⎝⎛=n m a d nm d a 80031==∴1500002.02600=⨯=∆⋅=⇒=∆λλλλm N mN46002400sin ===λθd m ∴ 能看到5条谱线19． 有多逢衍射屏如图所示，逢数为2N ，逢宽为a ，逢间不透明部分的宽度依次为a 和3a 。

试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。

解：将多逢图案看成两组各为N 条，相距d=6a1λθm d =⋅=∆sin22220sin sin sin )(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=δδααN I p I θλπαsin a = 其中αθλπθλπθλπδ12sin 12sin 62sin 2=⋅=⋅⨯==a a d代入得2206sin 6sin sin )(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=ααααN I p I 两组光强分布相差的光程差θsin 2a =∆' θλπδsin 4a ='∆'⋅++=k I I I I I cos 22121()22cos)(4cos 1)(2δ'⋅=∆'+=p I k p I⎪⎭⎫⎝⎛⋅=θλπsin 2cos )(42a p I 将θλπθαsin 2sin a ka ⋅== 及 2206sin 6sin sin )(⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααN I p I代入上式ααααα2cos 6sin 6sin sin 42220⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=N I I[解法I] 按照最初的多逢衍射关系推导设最边上一个单逢的夫琅和费衍射图样是：⎪⎭⎫⎝⎛=ααsin )(~A p E其中θλπαsin 2⋅==a kma 1d 对应的光程差为： θsin 11d =∆ αλπθδ42sin 21=⨯⋅=a2d 对应的光程差为： θsin 22d =∆ αλπθδ82sin 42=⨯⋅=a[∑+-⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααα12)1(ex p )24(ex p )12(ex p 1sin )(~N i i i A p E ()]αααα12)1(ex p )24(ex p )12(ex p 1)4(ex p -+⋅⋅⋅+++N i i i i[])12(ex p 1)]12(ex p[1)4(ex p 1sin αααααi iN i A --⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=[]⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=2)12(ex p 2)12(ex p 6ex p 2)12(ex p 2)12(ex p 2)12(ex p)4(ex p 1sin αααααααααi i i iN iN iN i A[]ααααααααα6sin 6sin )6(ex p )6(ex p )2(ex p )2(ex p )2(ex p sin N i N i i i i A ⋅--⎪⎭⎫⎝⎛= αααααα)46(ex p 6sin 6sin 2cos sin 2-⎪⎭⎫⎝⎛=N i N A 2206sin 2cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=αααααN I I[解法II] N 组双逢衍射光强的叠加设θλπαsin ⋅=a a d 2= θθsin 2sin ⋅=⋅=∆a d αθλπδ4sin 22=⋅=∆=a k()δααi A p E ex p 1sin )(~+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛=2ex p 2ex p 2ex p sin δδδααi i i A2ex p2cos sin 2δδααi A ⎪⎭⎫⎝⎛= αααα2ex p 2cos sin 2i A ⎪⎭⎫⎝⎛=N 组)(~p E 相叠加 d=6a θsin 62a =∆ αδ122=[]∑-⋅⋅⋅+++=ααα12)1(exp )24(exp )12(exp 1)(~)(~N i i i p E p E αααααα6sin 6sin 2)12(exp 2)12(exp)(~)12(exp 1)12(exp 1)(~N i iN p E i iN p E ⋅=--= αααααα)46(ex p 6sin 6sin 2cos sin 2-⎪⎭⎫⎝⎛=N i N A 2206sin 2cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=αααααN I Id20． 一块闪耀光栅宽260mm ，每毫米有300个刻槽，闪耀角为2177'。